Teorema de Ehrenfest

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O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

onde A é algum operador da mecânica quântica e é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação[editar | editar código-fonte]

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico . Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

e isto:

Perceba que porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral[editar | editar código-fonte]

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

onde é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento . Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

já que o operador comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por , nós obteremos:

Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.