Representação de Heisenberg

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Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos[editar | editar código-fonte]

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg[editar | editar código-fonte]

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado é dado por:

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por π) nós teremos

e então nós definiremos

Agora obteremos

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

(a última passagem é válida já que comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

(onde [XY] é o comutador dos dois operadores e definidos como [XY] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador[editar | editar código-fonte]

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores e . A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

nos leva a:

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

Perceba que para , simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]