Operador autoadjunto

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Um Operador auto-adjunto é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.1

Propriedades[editar | editar código-fonte]

\lang Tx,y\rang=\lang x,Ty\rang, ~~\forall x,y\,
\lambda\lang v,v\rang=\lang Tv,v\rang=\lang v,Tv\rang=\overline{\lambda}\lang v,v\rang\,
  • Se \lambda_1\, e \lambda_2\, são autovalores diferentes associados a autovetores v_1\, e v_2\,. Então \lang v_1,v_2\rang=0\,:
\lambda_1\lang v_1,v_2\rang=\lang Tv_1,v_2\rang=\lang v_1,Tv_2\rang=\lambda_2\lang v_1,v_2\rang\,

Operador Linear[editar | editar código-fonte]

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou auto-adjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.1

Teorema

Considere A uma matriz Hermitiana de ordem n, r um inteiro com 1\leq r \leq n e A_r uma submatriz principal de ordem r de A (obtida removendo n-r linhas e suas colunas correspondentes de A). Para cada inteiro k tal que 1\leq k\leq r, obtemos \lambda_k(A)\leq \lambda_k(A_r) \leq \lambda_{k+n-r}(A).

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.

Referências

  1. a b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R.. Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2

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