Os Parênteses de Poisson são uma operação matemática usada em mecânica clássica e teoria dos sistemas dinâmicos para descrever a evolução temporal de uma função que depende de variáveis dinâmicas (posição e momento). Eles são definidos como:
:
Onde
e
são funções de coordenadas generalizadas
e seus momentos conjugados
.
Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades algébricas:
- (P1) Anticomutarividade:
donde
;
- (P2) Linearidade:
, sendo
constantes em
;
- (P3) Regra da Cadeia:
;
- (P4) Identidade de Jacobi:

Com essas propriedades, podemos definir os Parênteses de Poisson fundamentais:
Esse conjunto de propriedades dos Parênteses de Poisson fundamentais, juntamente as propriedades (P1) até (P4) tornam possível em uma gama muito vasta de casos, efetuar o cálculos por métodos puramente algébricos.
Dentre as diversas aplicações das definições e cálculos dos parênteses de Poisson em Mecânica Clássica, uma que se destaca são as relações entre as componentes do momento angular e o quadrado do vetor momento angular. Faremos o primeiro citado, para isso, vamos partir da seguinte definição:

Sendo assim, caso seja necessário escrever uma única componente do vetor momento angular, podemos lançar mão da notação indicial:

Onde
é o símbolo de Levi-Civita e
são componentes quaisquer do vetor posição e do momento linear, com isso, podemos inicialmente calcular
da seguinte forma:

Podemos então trabalhar o ultimo parêntesis para proceder com o cálculo

Mas podemos efetuar uma segunda simplificação, usando as propriedades (P1) até (P4) e os parênteses de Poisson fundamentais


Finalmente, fazendo a substituição dessas expressões

Neste ponto, podemos aplicar a seguinte propriedade dos símbolos de levi-civita


E as multiplicações tomam a seguinte forma


Somando esses termos simplificados

Mas
e
são quantidades matematicamente iguais, sendo assim, podemos ignorar a parcela multiplicada pelo delta de kronecker pois essa é identicamente nula em todos os casos. A expressão já simplificada toma a seguinte forma:

Com algumas manipulações de índices, esse resultado pode ser escrito na forma final

Artigo principal: equações de Hamilton.
[1]As equações de movimento de Hamilton têm uma expressão equivalente em termos dos parênteses de Poisson. Isso pode ser demonstrado mais diretamente em um sistema de coordenadas explícito. Suponha que
é uma função na variedade de trajetória da solução. Então, aplicando a regra da cadeia para mais de uma variável,
Além disso, pode-se tomar
e
ser soluções para as equações de Hamilton em termos dos parênteses de Poisson, isto é,
Então,
[1]Os colchetes de Poisson são extremamente importantes devido ao papel que desempenham na transição da teoria clássica para a quântica. O procedimento conhecido como quantização canônica consiste essencialmente em associar um operador autoadjunto
a cada variável dinâmica fundamental
de tal forma que o comutador de quaisquer dois desses operadores seja o operador associado aos parênteses de Poisson das variáveis dinâmicas correspondentes multiplicados por
. Na equação do movimento de Heisenberg da mecânica quântica, um operador
satisfaz:
Onde
é o comutador.
A similaridade entre esta equação e a de Hamilton fica evidente:
A mecânica formulada na linguagem dos parênteses de Poisson é o clássico análogo da teoria quântica na imagem de Heisenberg, com os parênteses de Poisson clássico correspondendo ao comutador quântico dividido por
. Esta correspondência é possível e consistente porque o comutador quântico tem as mesmas propriedades algébricas que o parêntese de Poisson clássico. A regra de quantização que faz
corresponder a
foi descoberta por Dirac em 1926 (van der Waerden, 1967). Vale a pena notar que, sob hipóteses razoáveis, tal correspondência entre variáveis dinâmicas clássicas e operadores quânticos não pode ser válida para todas as variáveis dinâmicas (Abraham e Marsden, 1978; Teorema 5.4.9).
[1]
- ↑ Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976). «Course of Theoretical Physics Vol 1: Mechanics». Butterworth-Heinemann