Regra da cadeia

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Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

A regra da cadeia afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como:

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Exemplo 1: Considere . Temos que onde e Então,
  • Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

pode ser escrita como com e . A regra da cadeia afirma que

desde que e .

Regra da cadeia para várias variáveis[editar | editar código-fonte]

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função onde e , então

[1]

Suponha que cada função de é uma função de duas variáveis tais que e , e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

Se considerarmos acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de e a derivada de :

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

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  1. ver diferencial total nesta wikipédia