Série geométrica

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A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:

\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=1+r+r^2+r^3+\ldots (Veja somatório)

Esta série é convergente se e somente se |r|<1 e, neste caso, a soma vale:

\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r} (Veja somatório)

Convergência[editar | editar código-fonte]

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

\sum_{n=N1}^{N2}r^{n} = r^{N1}\frac{1-r^{N2-N1+1}}{1-r}
\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}

É facil ver que se |r|<1 então esta série é convergente e sua soma é dada por:

\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}

Por outro lado, se |r|\ge 1, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer serie geometrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}

Onde "a" é o termo inicial da serie.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

  • \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, ~~|x|<1
  • \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, ~~|x|<1
  • \frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}, ~~|x|<1

Ver também[editar | editar código-fonte]

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