Progressão geométrica

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Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

  • em que e ;[1]
  • em que e ;
  • em que e ;
  • em que e ;
  • em que e ;

Definição por recursão e fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

É fácil demonstrar por indução matemática que

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

Soma dos termos de uma P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

Caso a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

Multiplica-se pela razão

Subtrai-se a primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

Divide-se ambos os termos por e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando Sua soma é:

Se e então sua soma é mais infinito e se e sua soma é menos infinito.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso por exemplo. pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas[editar | editar código-fonte]

Progressão geométrica constante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

  • tem razão e primeiro termo
  • tem razão e primeiro termo

Progressão geométrica crescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é superior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e .

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

  • tem razão e primeiro termo .
  • tem razão e primeiro termo .

Progressão geométrica decrescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é inferior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e .

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

  • tem razão e primeiro termo .
  • tem razão e primeiro termo .

Progressão geométrica oscilante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: .

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

  • tem razão e primeiro termo .
  • tem razão e primeiro termo .

Exemplo de progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

Abaixo temo uma tabela ao qual o termo e o termo , e assim sucessivamente em progressão geométrica.

onde
1 2
2 6
3 18
4 54
5 162
6 486
7 1.458
8 4.374
9 13.122
10 39.366
11 118.098
12 354.294
13 1.062.882
14 3.188.646
15 9.565.938
16 28.697.814
17 86.093.442
18 258.280.326
19 774.840.978
20 2.324.522.934
  • Qual é o 8º termo da PG acima?

Enésimo termo de uma PG[editar | editar código-fonte]

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente().

Após obtido o quociente() o enésimo() termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo , ou seja, .

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo() igual a 1.250 e o 8º termo() igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo()?

Agora usando o quociente () na fórmula do enésimo termo ().
O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Referências

  1. a b Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]