Progressão geométrica

Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra $q$ (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• $\left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\ldots \right),$ em que $q=2$ e $a_{1}=1;$
• $\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},{\frac {1}{64}},{\frac {1}{128}},{\frac {1}{256}},\ldots \right),$ em que $q={\frac {1}{2}}$ e $a_{1}=1;$
• $\left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\ldots \right),$ em que $q=-3$ e $a_{1}=-3;$
• $\left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\ldots \right),$ em que $q=1$ e $a_{1}=7;$
• $\left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots \right),$ em que $q=0$ e $a_{1}=3;$

Termo geral

Costuma-se denotar por $a_{n}$ o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial $a_{1}$ e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• $a_{n}=a_{1},n=1;$
• $a_{n+1}=q\cdot a_{n},n=2,3,4,\ldots .$

Podemos demonstrar por indução matemática que:

$$a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.$$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$$a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z}$$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

$$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.$$

Caso $q\neq 1,$ a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

$$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}$$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

$$S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.$$

Multiplica-se pela razão $q:$

$$q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.$$

Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

$$q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},$$

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

$$\left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).$$

Divide-se ambos os termos por $(q-1)\neq 0$ e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de $a_{m}$ até $a_{n}$ é calculada pela seguinte fórmula:

$$S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.$$

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando $|q|<1.$ Sua soma é:

$$S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.$$

Se $q\geq 1$ e $a_{1}>0$ então sua soma é mais infinito e se $q\geq 1$ e $a_{1}<0,$ sua soma é menos infinito.

$$S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.$$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso $q\leq -1,$ por exemplo. $q$ pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

$$P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},$$

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

$$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},$$

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão $q$ deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

• $(4,4,4,4,4,4,4,4,...)$ tem razão $q=1$ e primeiro termo $a_{1}=4$
• $(6,6,6,6,6,6,6,6,...)$ tem razão $q=1$ e primeiro termo $a_{1}=6$

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão $q$ é superior a 1 e seu primeiro termo $a_{1}$ é superior a 0 ou quando sua razão $q$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo $a_{1}$ é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: $q>1$ e $a_{1}>0$ ou $0<q<1$ e $a_{1}<0.$

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

• $(1,3,9,27,81,...)$ tem razão $q=3$ e primeiro termo $a_{1}=1.$
• $(-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)$ tem razão $q=0,5$ e primeiro termo $a_{1}=-4.$

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão $q$ é superior a 1 e seu primeiro termo $a_{1}$ é inferior a 0 ou quando sua razão $q$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo $a_{1}$ é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: $q>1$ e $a_{1}<0$ ou $0<q<1$ e $a_{1}>0.$

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

• $(-4,-8,-16,-32,-64,...)$ tem razão $q=2$ e primeiro termo $a_{1}=-4.$
• $(64,32,16,8,4,...)$ tem razão $q=1/2$ e primeiro termo $a_{1}=64.$

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão $q$ é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: $q<0.$

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

• $(3,-6,12,-24,48,...)$ tem razão $q=-2$ e primeiro termo $a_{1}=3.$
• $(4,-16,64,-256,1024,...)$ tem razão $q=-4$ e primeiro termo $a_{1}=4.$

Exemplo de progressão geométrica

Abaixo temos uma tabela na qual o termo $a_{n=1}=2$ e o termo $a_{n=2}=6,$ e assim sucessivamente em progressão geométrica.

$P_{n}=a_{1}\cdot q^{(n-1)}$ onde $q={\frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3$

$n$	$a$
1	2
2	6
3	18
4	54
5	162
6	486
7	1.458
8	4.374
9	13.122
10	39.366
11	118.098
12	354.294
13	1.062.882
14	3.188.646
15	9.565.938
16	28.697.814
17	86.093.442
18	258.280.326
19	774.840.978
20	2.324.522.934

• Qual é o 8º termo da PG acima?

$${\begin{aligned}P_{8}&=2\cdot 3^{(8-1)}\\&=2\cdot 3^{7}\\&=2\cdot 2.187\\&=4.374\end{aligned}}$$

Enésimo termo de uma PG

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente($q$).

$${\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}$$

Após obtido o quociente($q$) o enésimo($e$) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo $n,$ ou seja, $(n-e).$

$${\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}$$

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo($m$) igual a 1.250 e o 8º termo($n$) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo($e$)?

$${\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}$$

Agora usando o quociente ($q$) na fórmula do enésimo termo ($P_{e}$).

$${\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}$$

O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também

• Wikilivros

• Progressão aritmética
• Progressão aritmético-geométrica
• Logaritmo
• Função exponencial
• Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
• Série geométrica