Progressão geométrica

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Esta página ou secção cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde Fevereiro de 2013). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Material sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra q (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

  • \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, \ldots\right), em que q=2 e a_1=1;[1]
  • \left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256}, \ldots\right), em que q=\frac{1}{2} e a_1=1;
  • \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187, \ldots\right), em que q=-3 e a_1=-3;
  • \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7, \ldots\right), em que q=1 e a_1=7;
  • \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0, \ldots\right), em que q=0 e a_1=3;

Definição por recursão e fórmula do termo geral[editar | editar código-fonte]

Costuma-se denotar por a_n o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a_1 e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

  • a_n=a_1, n=1;
  • a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots.

É fácil demonstrar por indução matemática que

a_n=a_1.q^{n-1}.

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

a_n = a_m \ q^{n - m} , ~~ n>m.

Soma dos termos de uma P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

S_n = \sum_{i=1}^{n}a_1 q^{i-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^{n-1}.

Caso q\neq 1, a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

S_n = \frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}.

Multiplica-se pela razão q:

 q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n.

Subtrai-se a primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1,

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

\left( q-1 \right)  S_n  = a_1 \left( q^n - 1 \right).

Divide-se ambos os termos por (q-1)\neq 0 e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula:

S_{(p,q)} = \frac{a_p(1-q^{q-p+1})}{1-q}.

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando |q|<1. Sua soma é:

S_\infty = \sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}.

Se q \geq 1 e a_1>0 então sua soma é mais infinito e se q \geq 1 e a_1<0, sua soma é menos infinito.

S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\
+\infty, & q\geq 1, a_1>0\\
-\infty, & q\geq 1, a_1<0\\
0,       & a_1=0.
\end{array}\right.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q \le -1, por exemplo. q pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}},

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

P_n = \prod_{i=1}^{n} a_{i}= (a_1 \times a_n)^{\frac{n}{2}},

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas[editar | editar código-fonte]

Progressão geométrica constante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

  • (4,4,4,4,4,4,4,4, . . .) tem razão q=1 e primeiro termo a_1=4
  • (6,6,6,6,6,6,6,6, . . . ) tem razão q=1 e primeiro termo a_1=6

Progressão geométrica crescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q é superior a 1 e seu primeiro termo a_1 é superior a 0 ou quando sua razão q está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a_1 é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: q>1 e a_1>0 ou 0<q<1 e a_1<0.

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

  • (1,3,9,27,81, . . .) tem razão q=3 e primeiro termo a_1=1.
  • (-4;-2;-1;-0,5;-0,25; . . .) tem razão q=0,5 e primeiro termo a_1=-4.

Progressão geométrica decrescente[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q é superior a 1 e seu primeiro termo a_1 é inferior a 0 ou quando sua razão q está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a_1 é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: q>1 e a_1<0 ou 0<q<1 e a1>0.

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

  • (-4,-8,-16,-32,-64, . . . ) tem razão q=2 e primeiro termo a_1=-4.
  • (64,32,16,8,4, . . .) tem razão q=1/2 e primeiro termo a_1=64.

Progressão geométrica oscilante[editar | editar código-fonte]

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q<0.

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

  • (3,-6,12,-24,48, . . .) tem razão q=-2 e primeiro termo a_1=3.
  • (4,-16,64,-256,1024, . . .) tem razão q=-4 e primeiro termo a_1=4.

Exemplo de progressão geométrica[editar | editar código-fonte]

Abaixo temo uma tabela ao qual o termo a_{n = 1} = 2 e o termo a_{n = 2} = 6, e assim sucessivamente em progressão geométrica.

P_n = a_1 \cdot q ^{(n-1)} onde q = \frac{a_2(6)}{a_1(2)} = 3
n a
1 2
2 6
3 18
4 54
5 162
6 486
7 1.458
8 4.374
9 13.122
10 39.366
11 118.098
12 354.294
13 1.062.882
14 3.188.646
15 9.565.938
16 28.697.814
17 86.093.442
18 258.280.326
19 774.840.978
20 2.324.522.934
  • Qual é o 8º termo da PA acima?

   \begin{align}
   P_8 & = 2 \cdot 3 ^ {(8 - 1)} \\
       & = 2 \cdot 3 ^ 7 \\
       & = 2 \cdot 2.187 \\
       & = 4.374
   \end{align}

Enésimo termo de uma PG[editar | editar código-fonte]

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente(q).


   \begin{align}
q & = \sqrt[n-m]{\frac{P_n}{P_m}}
   \end{align}

Após obtido o quociente(q) o enésimo(e) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo n, ou seja, (n - e).


   \begin{align}
      P_e & = \frac{Pn}{{q}^{(n-e)}}
   \end{align}

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(m) igual a 1.250 e o 8º termo(n) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(e)?


   \begin{align}
     q & = \sqrt[8-5]{\frac{156.250}{1.250}} \\
     q & = \sqrt[3]{125} \\
     q & = 5
   \end{align}
Agora usando o quociente (q) na fórmula do enésimo termo (P_e).

   \begin{align}
      P_e & = \frac{156.250}{5^{(8-2)}} \\
      P_e & = \frac{156.250}{5^{6}} \\
      P_e & = \frac{156.250}{15.625} \\
      P_e & = 10
   \end{align}
O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros

Referências

  1. a b Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]