Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.
Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra
(inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
em que
e
[1]
em que
e 
em que
e 
em que
e 
em que
e 
Costuma-se denotar por
o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial
e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:


Podemos demonstrar por indução matemática que:

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

Caso
a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

Multiplica-se pela razão

Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

Divide-se ambos os termos por
e o resultado segue.
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.[editar | editar código-fonte]
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de
até
é calculada pela seguinte fórmula:

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando
Sua soma é:

Se
e
então sua soma é mais infinito e se
e
sua soma é menos infinito.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso
por exemplo.
pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
Produto dos termos de uma progressão geométrica[editar | editar código-fonte]
O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

sendo similar à forma do somatório de uma
progressão aritmética.
Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão
deve ser igual a 1.
Exemplos de progressões geométricas constantes :
tem razão
e primeiro termo 
tem razão
e primeiro termo 
Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão
é superior a 1 e seu primeiro termo
é superior a 0 ou quando sua razão
está entre 0 e 1 e seu primeiro termo
é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem:
e
ou
e
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
tem razão
e primeiro termo 
tem razão
e primeiro termo 
Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão
é superior a 1 e seu primeiro termo
é inferior a 0 ou quando sua razão
está entre 0 e 1 e seu primeiro termo
é superior a 0. Obedecendo assim a ordem:
e
ou
e
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
tem razão
e primeiro termo 
tem razão
e primeiro termo 
Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão
é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
tem razão
e primeiro termo 
tem razão
e primeiro termo 
Abaixo temos uma tabela na qual o termo
e o termo
e assim sucessivamente em progressão geométrica.
onde
 |
|
1 |
2
|
2 |
6
|
3 |
18
|
4 |
54
|
5 |
162
|
6 |
486
|
7 |
1.458
|
8 |
4.374
|
9 |
13.122
|
10 |
39.366
|
11 |
118.098
|
12 |
354.294
|
13 |
1.062.882
|
14 |
3.188.646
|
15 |
9.565.938
|
16 |
28.697.814
|
17 |
86.093.442
|
18 |
258.280.326
|
19 |
774.840.978
|
20 |
2.324.522.934
|
- Qual é o 8º termo da PG acima?

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente(
).
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619b44039df146fb08c6b404ced530e83a6b3e13)
Após obtido o quociente(
) o enésimo(
) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo
ou seja,

Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(
) igual a 1.250 e o 8º termo(
) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(
)?
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5ca6a2250d9488b9cc56676f20490e6e43b6ac)
- Agora usando o quociente (
) na fórmula do enésimo termo (
).

- O 2º termo da PG dada é igual a 10.
Referências