Série harmónica (matemática)

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Em matemática, a série harmónica é a série infinita definida como:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots

O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme[1] ) faz-se tendo em conta que a série

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \! =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots

é termo a termo maior que ou igual à série

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
 = \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\  +\  \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

que claramente diverge.

Soma dos primos recíprocos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: série dos inversos dos primos

Um resultado refinado prova que a série dos inversos dos primos diverge para infinito:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+ ... =\infty\,

Série harmônica alternada[editar | editar código-fonte]

A série harmónica alternada é definida conforme:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma

onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

  1. O único Hn inteiro é H1.
  2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para qualquer }n\in\mathbb{N}

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver Lagarias, Jeffrey C.. (2002). "An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". The American Mathematical Monthly 109: 534-543. DOI:10.2307/2695443..)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Série divergente[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: série divergente

Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado de soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da função zeta de Riemann no ponto z = 1.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Referências