Sequência

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Em matemática, uma sequência ou sucessão é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possui, podendo existir sequências infinitas ou finitas. [1]

A sequência também é caracterizada pela sua ordem, podendo ser crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. As sequências também podem ser recorrentes, onde os termos dessa sequência dependem do termo anterior. Destas últimas, algumas das mais conhecidas são as Progressões Aritméticas, Progressões Geométricas e a Sequência de Fibonacci. A partir da Análise Real, também podemos estudar os limites de uma sequência de números reais.

Definição e notação[editar | editar código-fonte]

Uma sequência é um conjunto de números que são dispostos em uma ordem, onde cada número é chamado de termo. O termo é escrito da forma , sendo n a posição ou ordem do termo. Essa ordem é definida segundo a lei de formação da sequência. [2][3][4]

Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função definida sobre um subconjunto dos números naturais que toma elementos no conjunto .[5]

Usualmente para sequências, denotamos o valor de em por em vez de Este termo é dito ser o -ésimo termo da sequência. A notação é usada para denotar a sequência , cujos índices são tomados no conjunto . Quando o conjunto dos índices está subentendido, normalmente escrevemos ou, simplesmente, . Por extenso, escrevemos . Observamos, ainda, que as notações e também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[6][7][8][9][10]

Sequências infinitas[editar | editar código-fonte]

Uma sequência numérica infinita é uma função , cujo domínio é o conjunto dos número naturais.[8][9][10] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

  1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
  2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
  3. a sequência de aproximações por falta para (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
  4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequências bi-infinitas[editar | editar código-fonte]

No estudo de dinâmica simbólica[11], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por , mas por . Assim, usa-se a notação para se referir a sequência . Também usa-se a notação mais compacta com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.

Sequência limitada[editar | editar código-fonte]

Uma sequência é chamada limitada quando existem os números reais A e B onde todos os termos de possuem valores entre esses dois números reais, ou seja, para todo . Quando os valores A e B são simétricos, ou seja, , o intervalo é chamado de simétrico. Uma sequência é limitada superiormente (ou limitada a direita) quando temos um número real B que , logo todos os termos pertencem ao intervalo . Da mesma forma, é limitada inferiormente (ou limitada a esquerda) quando temos um número real A que , logo todos os termos pertencem ao intervalo Se a sequência não é limitada, chamamos ela de ilimitada.[8]

Sequência de números reais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais é uma função . O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. [8][9] São exemplos de sequências reais:

a)

b)

c)

Limite de uma Sequência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

As sequências podem ser definidas como convergente ou divergente. Quando afirmamos que uma sequência é convergente significa que ela possui um limite, ou seja, existe um número real L que, na medida em que o índice cresce, os termos de vão se tornar mais próximos desse número real L. Quando não há limite ou o limite vai para infinito, a sequência diverge.[8][9]

Sequências Monótonas[editar | editar código-fonte]

As sequências monótonas são todas as sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes [8].

  1. Sequência crescente: quando , ou seja, , para todo .
  2. Sequência não-decrescente: quando , ou seja, , para todo
  3. Sequência decrescente: quando , ou seja, , para todo
  4. Sequência não-crescente: quando , ou seja, , para todo .

Note que uma sequência decrescente, pela definição, é uma sequência não-crescente. Da mesma forma, uma sequência crescente, pela definição, é uma sequência não-decrescente

Por exemplo:

onde , logo é crescente.

onde , logo é decrescente.

onde , logo é não-decrescente.

onde , logo é não-crescente.

Sequências definidas de forma recursiva[editar | editar código-fonte]

Dizemos que uma sequência está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo e uma lei explícita que relaciona seu -ésimo termo, com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função , i.e. quando o termo da sequência é dada em função de um ou mais termos anteriores a ele.[9] Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.

Progressão Aritmética[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Progressão aritmética

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então: ou , onde e são constantes previamente definidas.

Exemplos

Progressão Geométrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Progressão geométrica

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, é uma progressão geométrica quando , , tendo sido dados o primeiro termo e a razão .

Exemplos

Sequência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci
Espiral baseada na sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci é definida por , e , para, i.e.:

Método para extração da raiz quadrada[editar | editar código-fonte]

Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.

Dado um número positivo qualquer , desejamos encontrar um número positivo tal que . Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação para . Notemos que:

e, observamos que:

  1. é um valor entre e ;
  2. se a aproximação aumenta de valor, então o fator diminui e vice-versa;
  3. é solução de , se .

Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para pode ser obtida tomando a média aritmética entre e , i.e.:

.

Agora, é uma nova aproximação de e, repetindo o argumento acima, temos que a média:

é uma aproximação para ainda melhor que .

Seja, então, a sequência definida recursivamente por:

.

Podemos mostrar que converge para . Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.[9]

Subsequência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Subsequência

Uma subsequência é uma sequência gerada da exclusão de termos de uma determinada sequência.[9] Podemos citar como exemplos:

a) A sequência de números pares é uma subsequência da sequência dos números naturais;
b) A sequência de números inteiros é uma subsequência da sequência dos números racionais.

Podemos também dizer que uma subsequência de uma sequência é uma restrição dessa sequência a um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Ou seja, restringimos os índices dos termos da subsequência nos dando uma nova sequência retirada da sequência de origem.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
  2. Ribeiro, Jackson (2010). Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione. ISBN 9788526277304 
  3. Paiva, Manoel Rodrigues (2010). Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516068318 
  4. Nery, Chico (2001). Matemática para ensino médio: volume único. São Paulo: Saraiva. ISBN 8502035266 
  5. LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
  6. CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.
  7. Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419 
  8. a b c d e f Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 
  9. a b c d e f g Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  10. a b Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7 
  11. Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
  • Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.
  • Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
  • Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.