Limite de uma sequência

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Definição formal[editar | editar código-fonte]

(como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Diz-se que L\in M é o limite da sequência e escreve-se
 L = \lim_{n \to \infty} x_n
se, e somente se:
\forall \epsilon>0\; \exist n_0 \in \mathbb{N}: n>n_0 \Rightarrow  d(x_n,L)<\epsilon.\;
i.e.: se, e somente se, para todo número real \epsilon>0\;, existe um número natural n_0 tal que para cada n>n_0\; tem-se d(x_n,L)<\epsilon.\;
  • Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos \{x_n|n\in \mathbb{N}\}\; em um espaço topológico T:
Diz-se que L\in T é um limite desta sequência[1] e escreve-se
 L = \lim_{n \to \infty} x_n
se, e somente se, para toda a vizinhança V de L existe um número natural N tal que para cada n\in N tem-se x_n\in V.

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

Comentários[editar | editar código-fonte]

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não implica, em geral, que a sequência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A sequência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0.
  • A sequência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente.
  • A sequência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
  • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sequência a1/n possui limite 1.
  • Também:
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ se } p > 0
\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ se } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ se } a>0

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. a b Royden, Halsey. Real Analysis. 3. ed. [S.l.]: Macmillan, 1968. ISBN 9780024041517