Limite de uma sequência

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O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sequência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

  • Para uma sequência de pontos em um espaço métrico com função de distância [1]
(como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Diz-se que é o limite da sequência e escreve-se
se, e somente se:
i.e.: se, e somente se, para todo número real , existe um número natural tal que para cada tem-se
i.e: dado , existe N tal que [2]
  • Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos em um espaço topológico :
Diz-se que é um limite desta sequência[1] e escreve-se
se, e somente se, para toda a vizinhança de existe um número natural tal que para cada tem-se .

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

Comentários[editar | editar código-fonte]

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não implica, em geral, que a sequência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A sequência (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, …) de números reais converge ao limite 0.
  • A sequência (1, -1, 1, -1, 1, …) é divergente.
  • A sequência (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, …) converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
  • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sequência a1/n possui limite 1.
  • Também:

Realizando um processo mais detalhado, vamos verificar que o limite de é 3.

Dado

Perceba que , pois n é natural. Logo:

desde que , comprovando o limite.

Com isso, podemos afirmar que, dado , existe , tal que:

Resultados do limite[editar | editar código-fonte]

Os limites de sequências possuem os seguintes resultados[3]:

Todo limite de uma sequência é um valor único, ou seja, se tem limite para um número real A e, também, um número real B, então .

Se uma sequência tende a L, então toda subsequência de convergirá para esse mesmo número L.

Toda sequência convergente é limitada

Toda sequência monótona e limitada converge. Disso, também podemos afirmar que se uma subsequência de , sendo monótona, converge para L, então é convergente.

Se uma sequência tem um limite positivo, é garantido que, a partir de uma certa ordem, seus termos são positivos. O mesmo é válido para um limite negativo, onde a partir de uma ordem o termo será negativo.

Dadas duas sequências e convergentes. Assim, se , para qualquer ordem n, . A mesma relação vale para uma constante qualquer.

Dadas as sequências , para todos os termos. Se o limite de e são iguais a L, temos que o limite de é L

Teorema de Bolzano-Weierstrass[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sequência que é limitada possui uma subsequência convergente.[2]

Limite superior e limite inferior[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Limite superior e limite inferior

Se uma subsequência de uma sequência possui como limite um valor L, dizemos que L é um ponto de aderência, ou valor de aderência, ou ponto aderente.[2]

O maior desses pontos aderentes é o limite superior (). Analogamente, o menor é o limite inferior ().

Toda sequência limitada possui um ponto aderente máximo A (o maior limite de uma subsequência) e um ponto aderente mínimo a (o menor limite de uma subsequência), onde:

  • Qualquer que seja , existem infinitos índices n tais que e somente um número finito com ;
  • Qualquer que seja , existem infinitos índices n tais que e somente um número finito com

Da mesma forma, é garantido que uma sequência limitada converge para L se, e somente se, os limites superior e inferior são iguais a L.

Um exemplo para verificarmos os limites superiores e inferiores é a sequência

Vamos definir as subsequências: , logo -1 é ponto de aderência e, ao ser o menor, é o limite inferior. , logo 1 é ponto de aderência e, ao ser o maior, é o limite superior.

Propriedades aritméticas do limite[editar | editar código-fonte]

Dadas duas sequências convergentes e , onde e [2]. Logo, as sequências são convergentes, sendo k um número real qualquer.

Podemos também afirmar que:

  1. ;
  2. . Caso , temos que:
  3. Caso , podemos também afirmar que

Limites infinitos[editar | editar código-fonte]

Quando uma sequência segue uma regularidade de comportamento de tal forma que o termo se torna arbitrariamente grande enquanto aumenta o índice, temos que a sequência diverge para infinito positivo. Quando se torna muito pequeno enquanto aumenta o índice, a sequência diverge para infinito negativo.[2]

Uma sequência diverge para se, dado , existe N tal que . Ao divergir para temos que, dado , existe N tal que .

Os limites infinitos também possuem propriedades aritméticas:

  1. .
  2. Sendo uma sequência não limitada e monótona. Se não decrescente, ela tende a e sendo não crescente tende a .
  3. .
  4. se ou respectivamente.
  5. Dado e limitada, então , respectivamente.
  6. Se e , com c um número positivo, então .
  7. Se e , com c um número positivo, então .
  8. Se e , então .

Critério de convergência de Cauchy[editar | editar código-fonte]

O critério de convergência de Cauchy auxilia em perceber se uma sequência é convergente sem conhecer o limite. Temos que se um sequência é convergente se, e somente se, qualquer que seja , existe N tal que: Da mesma forma, podemos dizer que dado , existe um índice N tal que, para todo inteiro positivo p,

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. a b Royden, Halsey (1968). Real Analysis 3. ed. [S.l.]: Macmillan. ISBN 9780024041517 
  2. a b c d e Ávila, Geraldo Severo de Souza (1999). Introdução à análise matemática 2. ed. São Paulo: Blucher. ISBN 9788521201687 
  3. Lima, Elon Lages (2014). Curso de Análise 1 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524401183