Limite de uma sequência

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Definição formal[editar | editar código-fonte]

  • Para uma sequência de pontos em um espaço métrico com função de distância [1]
(como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Diz-se que é o limite da sequência e escreve-se
se, e somente se:
i.e.: se, e somente se, para todo número real , existe um número natural tal que para cada tem-se
  • Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos em um espaço topológico :
Diz-se que é um limite desta sequência[1] e escreve-se
se, e somente se, para toda a vizinhança de existe um número natural tal que para cada tem-se .

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

Comentários[editar | editar código-fonte]

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não implica, em geral, que a sequência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A sequência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0.
  • A sequência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente.
  • A sequência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
  • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sequência a1/n possui limite 1.
  • Também:
[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. a b Royden, Halsey (1968). Real Analysis 3. ed. Macmillan [S.l.] ISBN 9780024041517. 
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23.