Teorema de Bolzano-Weierstrass

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O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se é um conjunto seqüencialmente compacto e é uma seqüência de pontos pertencentes a , então existe uma subseqüência tal que:

Um conjunto é dito fechado se toda sequência convergente contida em converge em , ou seja:

e , então:

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta[editar | editar código-fonte]

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja , uma sequencia limitada em , então existe uma subsequência convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina

Como é limitada, existe um intervalo tal que:

Seja o ponto médio entre e .

Como , deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

Caso contrário escolha:

Observe que:

, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos e de pontos com as seguintes propriedades:

Assim, é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por , portanto converge para um limite, digamos, . é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por , portanto também converge para um limite .

Mas , portanto . Como , o teorema do confronto estabelece que converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões[editar | editar código-fonte]

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para :

Então seja limitada em , existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em sub-hipercubos, constrói-se uma sequência da mesma forma como em .

Agora escreva as componentes do vetor . Como , temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em

Se vale para , então, dada uma sequência em , temos que as coordenadas de 1 a m estão no , portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em , portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto[editar | editar código-fonte]

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência tal que: que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto seqüencialmente compacto e seja um sequência convergente extraída de , da compacidade, segue que o limite pertence a e o resultado segue.

Ver também[editar | editar código-fonte]