Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1][2]
Paralelogramo

e suas diagonais

e

.
Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos.
Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.
Um paralelogramo
tem:[1][2]
- quatro lados - os segmentos de reta
,
,
e
;
- quatro vértices - os pontos
,
,
e
;
- quatro ângulos internos - os ângulos
,
,
,
;
- quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
- duas diagonais - os segmentos de reta
e
.
Um paralelogramo possui:[1][2]
- lados opostos congruentes;
- ângulos opostos congruentes;
- suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
- ângulos colaterais suplementares;
- a soma dos ângulos internos igual a
;
- a soma dos ângulos externos igual a
;
Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.
Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.
Dado o paralelogramo
, mostraremos que
e
. Para tanto, traçamos a diagonal
. Como
e
, tomando
como transversal temos que
(alternos internos) e
(alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

- Recíproca
Mostraremos que todo quadrilátero
convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que
e
, implica
. Logo, são congruentes os ângulos
e
, o que implica
. Um raciocínio análogo mostra que
. Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.
Dado o paralelogramo
, mostraremos que
e
. A partir da demostração anterior temos que:
e
.
Como
então substituindo (2) em (3) temos:
.
E, temos ainda
, que usando (1) fornece:
.
De (3) e (4), concluímos que
. Para o caso
o raciocínio é análogo.
- Recíproca
Mostraremos que todo quadrilátero
convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos
e
, logo
. Como
, segue que
. Portanto,
. Um raciocínio análogo prova que
. Isso completa a prova.
3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios[editar | editar código-fonte]
Diagonais se intersectam no ponto médio.
Seja
um paralelogramo e consideremos suas diagonais
e
. Denotamos por
a interseção destas diagonais. Como
e
são paralelas, temos que os ângulos
e
são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos
e
. Como
e
são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:
Assim temos que
é ponto médio de
e
, logo
é ponto médio e intersecção das diagonais.
- Recíproca
Mostraremos que todo quadrilátero
plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja
o ponto de interseção das diagonais
e
. Como
,
e
, temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que
. Donde seque que
. Analogamente, vemos que
. Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.
Demonstração da propriedade
Seja
um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos
e
são suplementares. Com efeito, como
e
são paralelas e
é uma transversal, temos que
(1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que
e
são suplementares, ou seja:
(2)
e substituindo (1) em (2) temos:
como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.
Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é
.
Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é
.
Denotando por
e
os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

Paralelogramo de base

e altura

.
A área de um paralelogramo é dada por:[1]

onde,
é o comprimento de qualquer um de seus lados e
é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.
Equivalentemente, temos:[2]

onde,
e
são os comprimentos de dois lados adjacentes e
é o ângulo definido por estes lados.
Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

Paralelogramo

, sendo

o ponto de interseção de suas diagonais

e

.
onde,
e
são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e
é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja
um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto
determinando quatro triângulos
,
,
,
. Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que
é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos
e
são congruentes, assim como os triângulos
e
. Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por
e
os comprimentos das diagonais
e
, respectivamente, temos:

Aqui,
é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo
pode ser calculada por:[1]
.
Por fim, como
, segue o resultado desejado.
Existem três paralelogramos especiais:
Referências
- ↑ a b c d e f Dolce, O.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863
- ↑ a b c d Bronshtein, I.N.; et al. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 9783540721215