Paralelismo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
As retas a e b são paralelas.

Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção.[1]

Paralelismo de duas retas no plano euclidiano[editar | editar código-fonte]

Sejam duas retas e pertencentes a um plano . Diz-se que é paralela a (//) se, e somente se, e são coincidentes ( = ) ou se a intersecção de e é um conjunto vazio, ou seja, se elas não possuem pontos comuns.[2]

Teorema das retas paralelas[editar | editar código-fonte]

" Se duas retas coplanares e distintas e , e uma transversal , determinam um par de ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então é paralela a ." [2] [demonstração 1][2]

O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:

Sejam e retas paralelas e distintas. Se intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.[2]

Caso as retas estejam no espaço, então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.[3] Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.

Unicidade e transitividade do paralelismo de retas[editar | editar código-fonte]

Também conhecido como postulado de Euclides ou postulado das paralelas define que:

"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." [2]

Agora, caso e forem retas paralelas, bem como as retas e forem paralelas, vale que e serão paralelas. [4]

Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço euclidiano[editar | editar código-fonte]

No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.[5]

Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta e um plano , com não contida em , se existir uma outra reta contida no plano , de modo que e sejam paralelas, então a reta será paralela ao plano .[4] [demonstração 2] [4]

Porém, caso a reta e o plano forem paralelos, então necessariamente a reta será paralela a uma reta do plano [4] [demonstração 3] [4]

Paralelismo de planos no espaço euclidiano[editar | editar código-fonte]

No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:

  1. se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
  2. se são coincidentes (iguais). [4]

Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,[4] ou seja, para que dois planos distintos e sejam paralelos, deve-se ter ou ou com duas retas concorrentes que sejam paralelas ao outro plano.[6]

Sendo assim, se dois planos e são paralelos e distintos, todas as retas do plano são paralelas ao plano , assim como todas as retas do plano são paralelas ao plano . Ainda, cada uma das retas de é paralela a pelo menos uma reta de e vice-versa.[6]

Paralelismo de retas no plano de acordo com a geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Representa-se uma reta na geometria analítica por meio de uma equação de 1º grau que possui duas incógnitas. Para determiná-la são necessários:

  • 2 pontos distintos pertencentes à reta;

ou

  • 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.[7]

Para que três pontos e estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante

seja igual a zero. Logo, supondo que e sejam pontos distintos pertencentes à uma reta , para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos , e um ponto genérico pertencente à .[7] Os valores para são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.

Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:

Como a equação da reta é da forma , sendo e , neste caso , e .[7]

Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.

Denotaremos por o ângulo de inclinação da reta . Este ângulo deve partir do eixo no sentido anti-horário. A tangente do ângulo é denominada coeficiente angular ou declividade da reta.[7] É comum indicar o coeficiente angular por

Há quatro possibilidades para , as quais possuem algumas peculiaridades:

Caso , segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se , observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.[7]

Para os dois outros casos, pode-se calcular partindo dos valores das coordenadas dos pontos e , bastando definir um ponto , tal que ABC seja um triângulo retângulo em . Sem perda de generalidade, supomos , e fixemos . O cateto oposto do triângulo retângulo irá medir e o cateto adjacente (o valor está em módulo pois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Se , então a declividade será positiva. Já se , então a declividade será negativa.[7]

Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.

Para isso, considere uma reta em que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos , além de um ponto que pertença à . Considere também um ponto genérico , tal que .

Sabemos que:

Se escolhermos de modo que ele seja o ponto em que a reta intercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto, , ou seja:

[7]

Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angular será paralela a .[8]

Paralelismo no espaço euclidiano tridimensional de acordo com a geometria analítica[editar | editar código-fonte]

Retas paralelas[editar | editar código-fonte]

Seja um vetor que passa pela origem com extremidade em . Então , ou seja, . A equação da reta com mesma direção de , que passa pelo ponto e pela origem pode ser representada por:

em que é um valor real, variando de a e .

Caso o objetivo for determinar uma reta paralela à , com passando por um ponto , basta fazer:

[9]

O vetor é chamado de vetor diretor da reta.[10] Logo, qualquer reta com mesma direção de será paralela à reta . Desse modo, as retas:

são paralelas se , sendo um número real.

Planos paralelos[editar | editar código-fonte]

A equação de um plano pode ser obtida a partir de uma reta que seja ortogonal a todos os vetores do plano e de um ponto pertencente ao plano.[10]

Seja um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de e sejam e pontos pertencentes a . O vetor é chamado de vetor normal ao plano . Os vetores de e são ortogonais, ou seja, o resultado de seu produto escalar é 0 (por isso o vetor não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):[10]

é comumente denotado por e assim:

Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano .[10]

Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para

e

vale que e serão paralelos se

[9]

Ainda, e serão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrário e serão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.

Reta e plano paralelos[editar | editar código-fonte]

Para que uma reta seja paralela a um plano , basta que seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta

e o plano

segue que se os produto escalar dos vetores e , respectivamente o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano , resultar em 0, então e serão paralelos.[9]

Porém, há duas possibilidades. Caso a reta e o plano possuam pontos em comum, então estará contida em e de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano, e não serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, então não estará contida em e e serão paralelos.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

  1. Demonstração: Hipótese (fato, condição já definida no enunciado do teorema): , , pertencem a um mesmo plano, supomos , com distinta de e os ângulos â e ê são congruentes (possuem a mesma medida), sendo â e ê ângulos alternos das retas e interceptadas por . Tese (o que deve ser provado de acordo com o enunciado do teorema): é paralela à ( // ). Sem perda de generalidade, supomos que â seja o ângulo pertencente a intersecção entre as retas e e que ê seja o ângulo pertencente à intersecção entre as retas e , onde â e ê são ângulos alternos internos. Se e não fossem paralelas, então existiria um ponto comum à e à , ou seja, e iriam se interseccionar. Considerando agora os pontos e , respectivamente intersecções das retas e com a transversal , teríamos o triângulo ABP. De acordo com o teorema do ângulo externo, que define que no triângulo, qualquer um de seus ângulos externos é maior do que cada um dos ângulos internos não adjacentes a ele, teríamos as seguintes possibilidades:
    1. se o ângulo ê fosse interno ao triângulo ABP, então â seria maior que ê.
    2. se o ângulo â fosse interno ao triângulo ABP, então ê seria maior que â.
    Por 1. e 2., segue que:
    â > ê ou ê > â
    o que, de acordo com a hipótese â ê, é um absurdo. Logo, é paralela a (ou // ). Note que se â e ê forem ângulos alternos externos congruentes, basta utilizar seus ângulos opostos pelo vértice. Suponha que sejam, respectivamente â' e ê'. Como â â' e ê ê', então â' ê'. Perceba que â' e ê' são ângulos alternos internos e o teorema vale, como provado anteriormente. Assim, segue que o teorema das retas paralelas vale para ângulos alternos externos congruentes. Para provar o caso de ângulos correspondentes congruentes, basta utilizar novamente os ângulos opostos pelo vértice. Assim, se â e ê forem ângulos correspondentes (supomos â externo e ê interno), então representando o ângulo oposto pelo vértice de â por â', teríamos, â â' e â ê, de modo que, ê â'. Como ê e â' são ângulos alternos internos, segue que o teorema vale para ângulos correspondentes congruentes.
  2. Demonstração: Seja uma reta que não está contida no plano . Ainda, por hipótese, seja paralela a uma reta contida em . Logo, e não se interseccionam e existe um plano que contém e (pela definição de retas paralelas). Por construção, e , sendo . Ou seja, é a reta de intersecção dos planos e . Supomos que e possuam um ponto em comum. Portanto, segue que e (já que ). Desse modo, pertence a intersecção de e , ou seja, . Logo, e , o que é um absurdo, pois, por hipótese, e são paralelas e não possuem pontos em comum. Assim, concluímos que e não possuem pontos em comum, e portanto, é paralela à .
  3. Demonstração: Por hipótese, a reta e o plano são paralelos. Logo, eles não se interceptam. Construindo um plano que contenha a reta e intercepte , obtém-se uma reta , resultante da intersecção dos planos e . Note que as retas e pertencem ao plano , porém não possuem pontos em comum. Assim, segue pela definição de retas paralelas, que é paralela a , ou seja, é paralela a uma reta do plano .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  1. «Paralelismo». Consultado em 27 de julho de 2018. 
  2. a b c d e Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da Matemática Elementar 9: geometria plana 9 ed. São Paulo: Atual 
  3. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto; Almeida, Nilze de (2004). Matemática: ciência e aplicações 2 ed. São Paulo: Atual. ISBN 85-357-0426-4 
  4. a b c d e f g Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual 
  5. Paulo Antônio Fonseca Machado (2013). «Fundamentos da geometria espacial» (PDF) 
  6. a b Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática: contexto e aplicações. 2. São Paulo: Ática 
  7. a b c d e f g Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia. 3 2 ed. São Paulo: Leya 
  8. «Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas». Blog do Enem 
  9. a b c De Maio, Waldemar; Chiummo, Ana (2008). Geometrias: geometrias analítica e vetorial: euclidianas e não-euclidianas. Rio de Janeiro: LTC 
  10. a b c d «Retas e planos» (PDF)