Produto escalar

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Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado[1][2]. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.[3][4]

Algebricamente, o produto escalar de dois vetores é formado pela multiplicação de seus componentes correspondentes e pela soma dos produtos resultantes[5]. Geometricamente, é o produto das magnitudes euclidianas dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.[6]

Definição[editar | editar código-fonte]

Geométrica[editar | editar código-fonte]

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção escalar de A em B.

O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.[7]

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:[7]

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica[editar | editar código-fonte]

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como

e

o produto escalar entre A e B é:[8][7]

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:[7]

Projeção escalar[editar | editar código-fonte]

A projeção escalar de um vetor a em direção a um vetor b é dada por:

,

onde é o ângulo entre a e b.

Em termos da definição geométrica do produto escalar, este pode ser reescrito como

,

onde é o vetor unitário na direção de b.

O produto escalar é, portanto, caracterizado geometricamente por

. [9]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B dois vetores com "n" linhas e 1 coluna, ou seja, de dimensões iguais. O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:[7]

  • Comutativa: .
  • Distributiva em relação à soma de vetores: .
  • Multiplicação por escalar:
  • Soma de quadrados:[10][11], ou seja, a multiplicação de um vetor pelo seu transposto é igual à soma de seus elementos ao quadrado. Note que essa soma é um número escalar, ou, o que é equivalente, uma matriz de dimensões 1X1.

Referências

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/i051240[ligação inativa] }}
  2. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
  3. http://www.mathreference.com/la,dot.html
  4. http://w3.ualg.pt/~gmarques/Ficheiros/ProdutoInterno26.pdf
  5. ANTON, Howard (2014). Cálculo - Volume II. Porto Alegre: Bookman. p. 785 
  6. http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/
  7. a b c d e Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. p. 158--163. ISBN 9788570562975 
  8. Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations (em inglês) 3 ed. Baltimore and London: Johns Hopkins University Press. p. 4. ISBN 080185413X 
  9. «Dot product». Wikipedia (em inglês). 17 de março de 2020 
  10. «Produto interno de vetores». Consultado em 6 de novembro de 2016 
  11. Weisstein, Eric W. «Dot product». MathWorld--A Wolfram Web Resource