Distributividade

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Em matemática, distributividade é uma propriedade de duas operações binárias, em que a ordem em que as operações são efetuadas podem, de certa forma, serem trocadas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto qualquer S e duas operações binárias f e g, dizemos que f é distributiva à esquerda de g se:

f(x,g(y,z)) = g(f(x,y),f(x,z))\ \forall\ x,y,z \in S

Analogamente, f é distributiva à direita de g se:

f(g(x,y),z) = g(f(x,z),f(y,z))\ \forall\ x,y,z \in S

Essas definições ficam mais naturais ao se usar a notação usual para f (produto, *) e g (soma, +):

x * (y + z) = (x * y) + (x * z)\ \forall\ x,y,z \in S
(x + y) * z = (x * z) + (y * z)\ \forall\ x,y,z \in S

Quando f é distributiva à esquerda e à direita em relação a g, diz-se simplesmente que f é distributiva em relação a g.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os exemplos mais comuns são:

  • A multiplicação de números naturais, racionais, reais e complexos é distributiva em relação à adição e à subtração.
  • A divisão de números naturais, racionais, reais e complexos é distributiva à direita em relação à adição e à subtração (mas não à esquerda).
  • A união de conjuntos é distributiva em relação à interseção de conjuntos. Analogamente, a interseção é distributiva em relação à união.
  • A potenciação é distributiva à direita, mas não à esquerda, em relação à multiplicação e à divisão (quando estas fazem sentido e definem um único resultado, por exemplo, quando restritas aos números reais positivos). De fato, (xy)^z = (x^z)(y^z)\, mas x^{(yz)} = (x^y)(x^z)\, apenas em casos especiais (quando x = 1 ou y + z = y z). Note-se que pelo fato da potenciação entre números complexos ser definida ou como uma função multivariada ou escolhendo-se um corte arbitrário neles, a potenciação entre números complexos não é distributiva em relação à multiplicação: ((-1) (-4))^{(1/2)} \ne (-1)^{(1/2)} \ (-4)^{(1/2)}\,