Multiplicação

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3 x 4 = 12 = 4 x 3, ie as doze esferas vermelhas podem ser organizadas em em três linhas e quatro colunas (ou quatro colunas e três linhas).
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Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.[1] Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.[2]

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.(5×4=20, logo 4×5=20)
  • Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.[(2×3)×4=24 logo 2×(3×4)=24]
  • Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
  • Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, x . 1 = x = 1 . x.
  • Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.
  • Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
  • Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

Tomando temos:

Distributividade da multiplicação de números naturais:

Notação[editar | editar código-fonte]

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

e

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego.

Isto é definido como:

O subscrito é uma variável muda ( no nosso caso), o limite inferior é () e o limite superior é

Assim por exemplo:

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos primeiros termos, quando cresce sem limite. Isto é:

Podemos de forma semelhante substituir por infinito negativo, e

para algum inteiro desde que o limite exista.

Indeterminações[editar | editar código-fonte]

Na multiplicação e divisão, existem 2 indeterminações:

Notas e referências

  1. Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. «Multiplicação: Como funciona e quando utilizar». UOL Educação. Consultado em 02 de maio de 2014. 
  2. NOVA ESCOLA - PLANO DE AULA - Multiplicação mental