Independência linear

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Em álgebra linear, um conjunto de vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros.[1]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto de um espaço vectorial diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito de e escalares não todos nulos, tais que O subconjunto diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito de se tem [2][3]

Nestas situações, diz-se também que os vectores do subconjunto são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI), respectivamente. Com base nessa definição não é difícil de concluir que um subconjunto é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais. [4]

Algoritmos de verificação[editar | editar código-fonte]

Independência linear em conjuntos de vectores[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que é um conjunto de vectores de , em que e

Ainda, fixemos as constantes , tais que

Por definição, se for a única possibilidade para que a equação anterior seja verdadeira, então os vectores serão linearmente independentes. Por outro lado, se qualquer uma das constantes admitir um valor diferente de zero, então o conjunto de vectores será linearmente dependente.[5]

Observe que podemos reescrever a equação

como

Efetuando as multiplicações, teríamos

que também poderia ser representada como segue

Assim, temos uma equação matricial da forma , em que

e

Observe que a solução trivial () é válida. Porém, é preciso descobrir se tal solução é única.[5] Para isso, podemos resolver o sistema por meio de operações elementares nas linhas da matriz aumentada

Logo, o conjunto de vectores será linearmente independente, caso o sistema linear tenha unicamente a solução trivial (todas as constantes valendo ), ou seja, se o sistema for classificado como possível e determinado (SPD). Porém, se houverem infinitas soluções, de modo que o sistema seja classificado como possível e indeterminado (SPI), então o conjunto de vectores será linearmente dependente.[1][6]

Sendo assim, em , é possível descobrir se um conjunto de vectores é linearmente independente ou não por meio da resolução de um sistema homogêneo.[7]

Independência linear em colunas de matrizes[editar | editar código-fonte]

A partir de uma matriz , pode-se verificar se suas colunas são linearmente independentes. Uma forma de realizar esta verificação, é por meio de uma equação da forma

a qual representa um sistema homogêneo na forma matricial, de modo que podemos definir se existem soluções não triviais para . Se houverem vectores não nulos para satisfazendo a equação , então segue que as colunas de são linearmente dependentes. Porém, caso a única solução seja , então segue que as colunas de são linearmente independentes.[8]

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, não é necessário utilizar os algoritmos citados anteriormente, pois apenas analisando os vectores do conjunto é possível classificá-lo como linearmente dependente. Vejamos alguns casos citados a seguir.

Vector nulo[editar | editar código-fonte]

Qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo será linearmente dependente,[9] mesmo que tal conjunto seja unitário, isto é, mesmo que tenha apenas um vector.[8]

Por exemplo, suponha que , e sejam vectores não nulos de e que , , e sejam constantes reais. Ainda, seja o vector nulo de , de modo que

Observe que fixando , podemos variar sem alterar o resultado da combinação, ou seja, as soluções para o sistema são infinitas. Generalizando esse raciocínio para uma quantidade arbitrária de vetores podemos concluir que qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo é um conjunto linearmente dependente.[9]

Vectores múltiplos[editar | editar código-fonte]

Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes.[10] Isso decorre do fato de que, se existe algum vector do conjunto que é múltiplo de outro vector, então ele pode ser expresso como combinação linear dos demais vectores.[6]

Por exemplo, sejam e , com e . Note que , ou seja, e são múltiplos e, portanto, temos a possível combinação linear . Logo, o conjunto é linearmente dependente.

Número de vectores[editar | editar código-fonte]

Em um espaço vectorial de dimensão finita, se o número de vectores do conjunto a ser verificado for superior à dimensão do espaço vetorial, então o conjunto será linearmente dependente. Assim, um conjunto com vectores em é linearmente dependente se .[9]

De fato, seja uma matriz de ordem , com e . Note que a equação

é equivalente a um sistema de equações e incógnitas. Como , haverá um número superior de variáveis do que equações e, portanto, o sistema linear homogêneo terá infinitas soluções. Deste modo, a equação admite solução não trivial, caracterizando as colunas de como linearmente dependentes. Logo, os vectores são linearmente dependentes.[9]

Determinante[editar | editar código-fonte]

Quando o número de vectores de um subconjunto de for igual ao número de componentes de cada vector (), é possível utilizar o determinante para definir se o conjunto de vectores é linearmente dependente ou não. [4]

Para realizar uma verificação a partir de um determinante, basta utilizar cada vector do conjunto como sendo uma coluna (ou linha) de uma matriz e, em seguida, calcular seu determinante. Se o resultado for igual a , então o conjunto de vectores será linearmente dependente. Por outro lado, caso o determinante seja diferente de , então o conjunto será linearmente independente. O conceito pode ser estendido para o caso de independência linear de colunas de matrizes quadradas.[11]

Caracterizações de independência linear[editar | editar código-fonte]

Fixe . Então, são equivalentes:[12]

  • é linearmente independente.
  • O conjunto é um gerador minimal para . Ou seja, se , então
  • Sempre que são distintos e , então
  • Toda combinação linear de elementos de é única, no sentido de que se são distintos, então

implica que

  • Toda combinação linear de elementos de é única, no sentido de que se

e

com todos os distintos entre si, todos os distintos entre si, e com todos os e não nulos, então , e os índices de e podem ser rearranjados de modo que

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se for uma base de um espaço vectorial e for um conjunto de vectores em , tal que , então o conjunto é linearmente dependente.[7]

De fato, como o conjunto forma uma base para o espaço vectorial , segue que os vectores de são linearmente independentes.[13] Ainda, o número de vectores do conjunto é igual à dimensão de . Logo, se é um conjunto do espaço vectorial , sendo que o número de vectores de é maior que o número de vectores de , segue que o número de vectores do conjunto será maior que a dimensão de , de modo que tal conjunto será linearmente dependente.[9]

  • Seja um conjunto de dois ou mais vectores. Dizemos que é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vectores de for combinação linear dos demais.[14]

Demonstração:

Vamos mostrar que se pelo menos um dos vectores de for combinação linear dos demais vectores, então é linearmente dependente.

De fato, se for uma combinação linear dos outros vectores de , então podemos reordenar os vectores do conjunto, escrevendo como

em que são constantes que tornam a equação anterior válida. Perceba que é possível subtrair em ambos os lados da equação

e assim

ou seja,

Como a equação anterior admite uma constante não nula, ou seja, como a equação

possui uma solução não trivial, segue pela definição que o conjunto é linearmente dependente.

Agora, vamos verificar que se é linearmente dependente, então pelo menos um dos vectores de será combinação linear dos demais.

Caso , então a equação

admite como solução e, portanto, ao menos um dos vectores de pode ser representado como combinação linear dos demais.

Porém, se , então como é linearmente dependente, existem constantes , não todas nulas que satisfazem

Suponha que seja o maior índice para o qual . Observe que se e , teríamos um resultado inválido, pois seria impossível. Logo e, assim,

ou ainda,

o que comprova que ao menos um vector do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais.[15]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os vectores e são linearmente dependentes (são paralelos); os vectores e são linearmente independentes (formam uma base para o plano da imagem); os vectores e são linearmente independentes (formam uma base para um espaço vetorial de três dimensões)
  • O conjunto vazio é linearmente independente.[16]
  • Um conjunto unitário cujo único elemento não é o vector nulo, é linearmente independente.[17]
  • Dois vectores de um plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).[14]
  • Em :
    • O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.[7]
    • O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.[6]
    • Qualquer subconjunto de com mais de três vectores é linearmente dependente.[9]
    • Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano.[18]
    • Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz em que cada vector está disposto em uma linha (ou coluna) for igual a zero.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b «3.1 Dependência e independência linear». REAMAT. 14 de novembro de 2018 
  2. Noble & Daniel, 1986, p. 89
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 67–68
  4. a b ANTON, Howard; RORRES, Chris (2001). Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman 
  5. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 45. ISBN 9788521622093 
  6. a b c Viegas, Gustavo (19 de maio de 2017). «Conjuntos LI ou LD». Toda a Matemática 
  7. a b c Oliveira, Samuel Rocha de; Maia Jr., Adolfo (23 de março de 2015). «Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 17 - Independência linear. Base e dimensão». UNIVESP 
  8. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 46. ISBN 9788521622093 
  9. a b c d e f LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 48. ISBN 9788521622093 
  10. LAY, David C. (2013). Álgebra Linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. pp. 46–47. ISBN 9788521622093 
  11. «Apontamentos Álgebra Linear: 3 – Determinantes» (PDF). Nova School of Business and Economics 
  12. CALDAS, André (2018). Introdução a Álgebra Linear com álgebra e geometria. [S.l.: s.n.] pp. 144–145 
  13. Viegas, Gustavo (23 de maio de 2017). «Base de um espaço vetorial». Toda a Matemática 
  14. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 47. ISBN 9788521622093 
  15. LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. pp. 48–49. ISBN 9788521622093 
  16. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 68
  17. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 74
  18. «Álgebra Linear: Introdução a independência linear.». Khan Academy em Português. 6 de novembro de 2014 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 
  • Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225 

Ver também[editar | editar código-fonte]

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