Processo de Gram-Schmidt

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Em matemática e análise numérica, o processo de Gram-Schmidt é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente o espaço Euclidiano Rn. O processo de Gram–Schmidt recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S = {v1, …, vn} e retorna um conjunto ortonormal S' = {u1, …, un} que gera o mesmo subespaço S inicial.

O método leva o nome de Jørgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt, mas pode ser encontrado antes nos trabalhos de Laplace e Cauchy. Em teoria de decomposição do grupo de Lie é generalizado pela decomposição de Iwasawa.

O processo de Gram-Schmidt[editar | editar código-fonte]

Definimos o operador projeção por

Projeta o vetor v ortogonalmente em u.

O processo se dá da seguinte maneira:

Os dois primeiros passos do método de Gram-Schmidt.

A seqüencia u1, …, uk é o sistema de vetores ortogonais e (não necessariamente) normalizados e1, …, ek formam um conjunto ortonormal, ou seja: de vetores ortogonais entre si dois a dois e normalizados.

Para verificar que estas fórmulas resultam em uma sequência ortogonal, primeiro compute 〈u1, u2〉 substituindo a fórmula acima por u2: encontra-se 0 (zero). Então usando esse facto para computar 〈u1, u3〉 novamente substituindo a fórmula por u3: encontra-se 0. A prova geral processa-se por indução matemática. O processo de Gram-Schmidt determina uma base de vetores ortonormais que, ao sofrer uma composição linear por uma matriz alternativamente diagonal, se torna equivalente à aplicação linear da base canónica que sofreu o processo.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere o seguinte grupo de vetores no R2 (Com produto interno convencional)

Agora , aplicamos Gram-Schmidt,para obter um conjunto ortonormal de vetores:

Verificamos que os vetores u1 e u2 são, de fato, ortogonais:

Podemos normaliza-los dividindo pela norma de cada um dos vetores:

Estabilidade numérica[editar | editar código-fonte]

Aproximação[editar | editar código-fonte]

Quando implementado em um computador, os vetores uk não são precisamente ortogonais devido ao erro de aproximação. Para o processo de Gram–Schmidt como descrito acima essa perda de ortogonalidade é particularmente ruim; portanto, é dito que o processo ingênuo de Gram–Schmidt é numericamente instável.

O processo de Gram–Schmidt pode ser estabilizado por uma pequena modificação. Ao invés de computar o vetor uk por

ele é computado por

Essa série de passos resulta no mesmo conjunto do processo original, porém introduz menos erro em uma aritmética de precisão finita.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]