Regra de Cramer para os inteiros
A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear , que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes . Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).[ 1] [ 2]
Se
A
x
→
=
b
→
{\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}
é um sistema de
n
{\displaystyle n}
equações e
n
{\displaystyle n}
incógnitas. (Onde
A
{\displaystyle A}
é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero,
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
é o vetor coluna das incógnitas e
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
é o vetor coluna dos termos independentes)
Então
∀
j
,
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle \forall j,1\leq j\leq n}
, a solução do sistema
x
j
{\displaystyle x_{j}}
é dada por:
x
j
=
|
A
j
|
|
A
|
=
d
e
t
(
A
j
)
d
e
t
(
A
)
{\displaystyle x_{j}={\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}={det(A_{j}) \over det(A)}}
Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.
Sejam os vetores
x
→
=
(
x
1
⋮
x
n
)
{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
e
b
→
=
(
b
1
⋮
b
n
)
{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
e a matriz
A
=
[
a
11
⋯
a
1
n
⋮
⋱
⋮
a
n
1
⋯
a
n
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
.
Seja ainda a matriz
A
j
{\displaystyle A_{j}}
, obtida pela substituição da coluna
j
{\displaystyle j}
pelo vetor
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
, tal que
A
j
=
[
a
11
⋯
a
1
j
−
1
b
1
a
1
j
+
1
⋯
a
1
n
a
21
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
a
n
−
1
n
a
n
1
⋯
a
n
j
−
1
b
n
a
n
j
+
1
⋯
a
n
n
]
{\displaystyle A_{j}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\ddots &&&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\vdots &&&&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&&&\ddots &a_{n-1n}\\a_{n1}&\cdots &a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
.
Usando as propriedades da multiplicação de matrizes :
A
x
→
=
b
→
⇔
A
−
1
A
x
→
=
A
−
1
b
→
⇔
I
x
→
=
A
−
1
b
→
⇔
x
→
=
A
−
1
b
→
{\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}}
então:
x
→
=
A
−
1
b
→
=
(
Adj
A
)
|
A
|
b
→
{\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} A)}{\left|A\right|}}{\vec {b}}}
Sejam:
A
−
1
b
→
=
p
j
k
{\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}}
(
Adj
A
)
=
A
p
l
′
A
p
l
′
=
A
l
p
{\displaystyle (\operatorname {Adj} A)={\frac {A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}}=A_{lp}}
Portanto:
A
−
1
b
→
=
p
j
k
=
∑
i
=
1
n
A
j
i
′
|
A
|
b
i
k
=
∑
i
=
1
n
A
i
j
b
i
|
A
|
=
(
1
)
|
A
j
|
|
A
|
{\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}A_{ij}b_{i}}{\left|A\right|}}=_{\rm {(1)}}{\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}}
(1) Recordando a definição de determinante , o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz
A
j
{\displaystyle A_{j}}
Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:
Dado
3
x
+
1
y
=
9
{\displaystyle 3x+1y=9\,}
2
x
+
3
y
=
13
{\displaystyle 2x+3y=13\,}
que em forma matricial é:
[
3
1
2
3
]
[
x
y
]
=
[
9
13
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}9}\\{\color {red}13}\end{bmatrix}}}
x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer
x
=
|
9
1
13
3
|
|
3
1
2
3
|
=
9
∗
3
−
1
∗
13
3
∗
3
−
1
∗
2
=
2
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}9}&1\\{\color {red}13}&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9*3-1*13 \over 3*3-1*2}=2}
y
=
|
3
9
2
13
|
|
3
1
2
3
|
=
3
∗
13
−
9
∗
2
3
∗
3
−
1
∗
2
=
3
{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&{\color {red}9}\\2&{\color {red}13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3*13-9*2 \over 3*3-1*2}=3}
Referências
Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C.F. (2003). Álgebra Linear e Aplicações . [S.l.]: Atual. 352 páginas. ISBN 8570562977
Boldrini; Costa e Fiqueiredo; Wetzler (1986). Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. 412 páginas. ISBN 9788529402024
Leon, Stevan J. (2011). Álgebra Linear e Suas Aplicações 8ª ed. [S.l.]: LTC. 504 páginas. ISBN 8521611560