Espaço dual

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares .

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneia abstrata a relação entre os vetores fila (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneia, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico[editar | editar código-fonte]

O espaço dual é um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

O espaço dual de um espaço vetorial sobre um corpo é costumeiramente denotado ou e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

Para todo em , em e em .

Caso de dimensão finita[editar | editar código-fonte]

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto onde:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Se a dimensão de V é finita, então V* tem a mesma dimensão que V; se { e1,..., e n} é uma base para V, então a base dual associada { e¹,...,e n} de V* é dada por:

Específicamente, se é interpretado Rn como espaço de colunas de n números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de n números. Tal linha atua em Rn como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.


Translation Latin Alphabet.svg
Este artigo ou seção está a ser traduzido. Ajude e colabore com a tradução.

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se é um funcional linear contínuo então existe um tal que:

.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]