Espaço dual

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Em matemática, qualquer espaço vetorial sobre um corpo pode ser associado a um espaço dual, denotado , consistindo dos funcionais lineares . Quando é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual é chamado de espaço dual algébrico .

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico[editar | editar código-fonte]

O espaço dual é um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

O espaço dual de um espaço vetorial sobre um corpo é costumeiramente denotado ou e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

Para todo em , em e em .

Caso de dimensão finita[editar | editar código-fonte]

Se é um espaço vetorial de dimensão finita, então tem a mesma dimensão de . Seja uma base de , então a base dual é dada pelo conjunto onde:[1]

Prova

Primeiramente, veja que é linear. Sejam tais que e (ou seja, e ). Logo, e . Portanto, para .

Além disso, suponha que . Aplicando esse funcional nos vetores da base de sucessivamente, conclui-se que (o funcional aplicado em resulta em ). Portanto, é linearmente independente em .

Por fim, considere . Então

gera . Portanto, é base de .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Se a dimensão de é finita, então tem a mesma dimensão que ; se é uma base para V, então a base dual associada de é dada por:

Específicamente, se é interpretado como espaço de colunas de números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de números. Tal linha atua em como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

Duplo dual algébrico[editar | editar código-fonte]

Dado um espaço vetorial , sempre podemos considerar seu duplo dual , que consiste em todos os funcionais lineares . Existe um homomorfismo canônico entre e , ou seja, existe uma transformação , definida por

que é linear. Além disso, é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais e . Note, porém, que em geral ; de outro modo, pode ser que existam tais que para todo .

Espaço dual topológico[editar | editar código-fonte]

Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado , é um subespaço do espaço dual algébrico .

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um tal que

.

Duplo dual topológico[editar | editar código-fonte]

Dado um espaço vetorial normado , sempre podemos considerar seu duplo dual , que consiste em todos os funcionais lineares contínuos . Existe um homomorfismo canônico entre e , ou seja, existe uma transformação , definida por

que é linear. Além disso, é sempre injetora, limitada e isométrica (), este último fato sendo uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Por isso, é um isomorfismo entre os espaços normados e . Note, porém, que em geral ; de outro modo, pode ser que existam tais que para todo .

Caso valha, de fato, que , o espaço é dito ser reflexivo. Exemplos de espaços reflexivos são os espaços de Hilbert e os de dimensão finita.[2]

Referências

  1. Bueno, Hamilton Prado (2006). Álgebra Linear - um segundo curso. [S.l.]: SBM. ISBN 858581831X 
  2. Kreyszig, Erwin (1989). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons 


Ligações externas[editar | editar código-fonte]