Teorema da representação de Riesz

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Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação em espaços de Hilbert[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Hilbert real ou complexo, munido do produto interno . Seja um funcional linear contínuo em . Então existe um vetor tal que:

Observe que todo funcional desta forma é um funcional linear contínuo. O teorema estabelece portanto uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Considere momentaneamente que seja um espaço de dimensão finita, ou seja, todo elemento pode ser escrito como:

onde seja uma base para . Então a linearidade de nos permite escrever:

onde .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja o espaço nulo de . é um espaço vetorial fechado posto que é contínuo. Temos dois casos:

  • , neste caso e o teorema é válido com .
  • Existe um elemento não nulo , o complemento ortogonal de

Neste caso, escreva para todo :

Pela linearidade de , é fácil verificar que , ou seja, .

Sendo ortogonal a , ou seja, :

Ou ainda:

E o resultado segue com .