Matriz transposta

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz será representada por . Outras formas de representação encontradas na literatura são e .[1][2][3]

Definição[editar | editar código-fonte]

A transposta da matriz é a matriz [1][2][3], i.e.:

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária definida no conjunto das matrizes que associa a cada matriz sua transposta .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Veja alguns exemplos:

Construção[editar | editar código-fonte]

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos e ) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha -ésima linha e -ésima coluna da matriz deve corresponder ao elemento da -ésima linha e -ésima coluna da matriz .[1]

Uma das formas práticas de construir a matriz é colocando em sua colunas as linhas da matriz na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz nas linhas da matriz na mesma ordem.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[1]

  1. , se é uma matriz não singular.
  2. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:
  1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:
Demonstração.
1.

Seja . Então, e, portanto, .


2.

Sejam e . Então:

.


3.

Seja . Então:

.


4.

Sejam e . Então:


5. , se é uma matriz não singular.

Se é uma matriz não singular, então . Daí, segue que:

e

ou seja, a inversa de é a transposta de , como queríamos demonstrar.


6.

Seja . Por definição, o determinante de é dado por:

onde, corresponde ao -ésimo elemento da -ésima permutação da sequência . E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

.


7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja . Então:

donde vemos que os termos da diagonal () são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.


8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622086. 
  2. a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Cengage [S.l.] ISBN 9788522107445. 
  3. a b Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622093. 


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.