Matriz ortogonal

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Uma matriz quadrada é dita ortogonal quando a sua transposta coincide com a sua inversa. Isto é, uma matriz quadrada é ortogonal se:[1][2][3]

Ou, alternativamente:

Note que uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz quadrada é dita ser ortogonal quando .[1][2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

;

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Se é uma matriz ortogonal, então .
  2. A matriz é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
  3. A matriz é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.
  4. A matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.
  5. Se é uma matriz ortogonal, então é ortogonal se, e somente se, .
Demonstração
1. Se é uma matriz ortogonal, então .

Com efeito, implica . Logo, , donde .

2. Uma matriz é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.

Seja uma matriz ortogonal, onde indica a i-ésima coluna de . Como , temos , donde vemos que:

isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna é um conjunto ortonormal. Reciprocamente, se as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que .

3. Uma matriz é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.

Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade 2.

4. A matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.

Segue imediatamente da observação de que:

.
5. Se é uma matriz ortogonal, então é ortogonal se, e somente se, .

Por hipótese, . Com isso, temos: . Agora, se, e somente se, . Isso completa a demonstração.

Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. a b c Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622086. 
  2. a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Cengage [S.l.] ISBN 9788522107445. 
  3. Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. LTC [S.l.] ISBN 9788521622093. 

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