Matriz ortogonal

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Para matrizes complexas ortogonais, ver Matriz unitária.

Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1][2][3]

Isto é, uma matriz é ortogonal se

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é dita ortogonal se:

  • For inversível, isto é: ;[4]
  • Sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta , isto é: [5]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

;

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]

  • Se é uma matriz ortogonal, então .[demonstração 1]
  1. A matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.[demonstração 4]
  • Se é uma matriz ortogonal, então é ortogonal se, e somente se, .[demonstração 5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  • Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  • Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 
  • Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185 

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

  1. Da definição, tem-se que: , então .
    Pelo Teorema de Binet, , então .
    No entanto, sabe-se também da definição que implica .
    Logo, , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se .
  2. Seja uma matriz ortogonal, onde indica a i-ésima coluna de .
    Como , temos , donde vemos que:
    isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna é um conjunto ortonormal.
    Reciprocamente, se as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que .
  3. Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
  4. Segue imediatamente da observação de que:
    .
  5. Por hipótese, . Com isso, temos:
    .
    Agora, se, e somente se, . Isso completa a demonstração.