Matriz ortogonal

 Nota: Para matrizes complexas ortogonais, veja Matriz unitária.

Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.

Isto é, uma matriz $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ é ortogonal se $M^{-1}=M^{T}$

Definição

Uma matriz $M\in R^{n\times n}$ é dita ortogonal se:

• ortogonal se for invertível, isto é: $det(M)\neq 0$; (necessário, mas não é suficiente)
• ortogonal se somente se sua matriz inversa $M^{-1}$ coincide com sua matriz transposta $M^{T}$, isto é: $M^{-1}=M^{T}$ (necessário e suficiente)

Exemplos

• Matriz identidade:

$I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}$;

• Matriz de rotação (anti-horário)

$R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}$

• Matriz de reflexão em torno do eixo $x$:

$R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Propriedades

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:

• Se $A$ é uma matriz ortogonal, então $\det(A)=\pm 1$.

• A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.

• A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.

1. A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, sua transposta $A^{T}$ também é.

• Se $A$ é uma matriz ortogonal, então $cA$ é ortogonal se, e somente se, $c=\pm 1$.

Ver também

• Matriz ortogonalmente diagonalizável

Bibliografia

• Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
• Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
• Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 
• Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185