Matriz alternante

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Em álgebra linear, uma matriz alternante, é uma matriz com uma estrutura particular, na qual as colunas sucessivas têm uma função particular aplicada às suas entradas. Um determinante alternante é o determinante de uma matriz alternante. Essa matriz de tamanho m × n matriz pode ser escrita assim:

ou de forma mais sucinta

para todos os índices i e j. (Alguns autores utilizam a transposta da matriz acima)


Exemplos de matrizes alternantes incluem matrizes de Vandermonde, para as quais e matrizes de Moore para as quais .

Se e as funções são todas polynomials, temos alguns resultados adicionais: Se para qualquer então o determinante de qualquer matriz alternante é zero (como uma fileira é então repetida), portanto divide o determinante por todos . Dessa forma, se tomarmos

(Uma matriz de Vandermonde então divide tais alternantes determinantes polinomiais. A razão é chamada uma bialternante. No caso em que cada função , isto constitui a definição clássica de polinômio de Schur[nota 1]

Matrizes alternantes são utilizados em teoria da codificação na construção de códigos alternante.

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Notas

  1. Polinômios de Schur, em homenagem a Issai Schur, são certos polinómios simétricos em variáveis n, indexadas por partições, que generalizam os polinômios simétricos elementares e os completos polinômio homogêneos simétricos.

Referências

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