Matriz jacobiana

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja , ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática Em Português
Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de em relação a todos os xs.

Notação[editar | editar código-fonte]

A Jacobiana é representada por ou

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de

Determinante Jacobiano[editar | editar código-fonte]

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Exemplo 1: Seja . Aqui, e . A matriz jacobiana de F é:
[1]

O determinante Jacobiano é .

  • Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

A Jacobiana é dada então por:

O Jacobiano é . portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos

  • Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang):[2] Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta . Seja também G uma função injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que
, sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem inversa, podemos escrever:

A densidade conjunta de (U,V) será: , em que representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de .

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então

O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação[3] ) será . O módulo deste determinante é . A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:

Aproximação linear[editar | editar código-fonte]

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto pode ser aproximada por:

sendo um ponto próximo de . Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  2. Faculdade de ciências - universidade de Lisboa. Mais sobre variáveis aleatórias. capítulo 3. Páginas 18 e 19. Disponível em: <http://www.deio.fc.ul.pt/disciplinas/ficheiros_apoio/mest_est/probab/TAlpuim_Cap3Novo.pdf>. Acesso em: 10 de março de 2011.
  3. CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da segunda edição norte-americana. São Paulo: Centage Learning, 2010. ISBN 978-85-221-0894-7. Página 142 e 192.