Integral múltipla

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A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.

Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:

  • A integral dupla

da função na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

  • A integral tripla

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann[1] [2] .

Integral múltipla sobre uma região retangular[editar | editar código-fonte]

Esboço de uma partição de uma região retangular .

Consideramos um retângulo de dimensões semi-aberto:

Particionamos cada intervalo em uma família de intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e aberto na direita). Desta forma,

é uma família finita de subretângulos disjuntos que forma uma partição de .

Seja uma função definida em . Para cada partição de temos

onde é o número de subretângulos pertencentes à partição e denota o -ésimo retângulo desta. Uma soma de Riemann de associada à partição é dada por:

onde para cada k, é um ponto pertencente a e é o produto dos comprimentos dos intervalos que formam .

Dizemos que a função é integrável pelo conceito de Riemann (ou, simplesmente, Riemann integrável) se o limite

existe, onde este é tomado sobre todas as partições possíveis de cujo diâmetro de cada subretângulo é no máximo δ. Se é Riemann integrável, é chamada integral de Riemann de sobre . Escrevemos:

A integral múltipla sobre um subconjunto compacto de [editar | editar código-fonte]

Esboço de uma região de integração compacta e ilustração do procedimento de partição.

A integral de Riemann de uma função definida sobre um subconjunto compacto qualquer pode ser definida estendendo a função para um retângulo semi-aberto cujos valores fora do domínio original são nulos. Mais precisamente, sejam compacto e função limitada definida em . Consideramos a extensão de para o domínio assumindo que fora de . Como é limitado, tomamos um retângulo .

De forma análogo ao caso anterior, dizemos que a função é Riemann integrável sobre quando existe (valor da integral) tal que, para todo número real , existe uma partição de tal que se é um refinamento de e é qualquer soma de Riemann de associada à partição , então .

Note que o limite , quando existe, não depende da escolha do retângulo , desde que ele contenha .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As integrais múltiplas têm várias propriedades análogas às integrais simples (unicidade, linearidade, aditividade, etc)[2] . Além disso, uma integral múltipla pode ser usada para definir o valor médio de uma função em um dado conjunto. Dado um conjunto e uma função integrável sobre , a valor médio de sobre seu domínio é dado por

onde é a medida de .

Métodos de Integração[editar | editar código-fonte]

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste na maioria dos casos em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente integrável. Este procedimento é garantido pelo Teorema de Fubini.

Fórmulas de redução[editar | editar código-fonte]

Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).

Domínios no R2[editar | editar código-fonte]

Eixo x

Esboço de um domínio do tipo

Se é um domínio delimitado por (esquerda), (direita), (inferior) e por (superior) (veja ,então, a integral pode ser reduzida a:

Eixo y

Esboço de um domínio do tipo

Se é um domínio delimitado por (superior), (inferior), (esquerda) e por (direita),então, a integral pode ser reduzida a:

Domínios no R3[editar | editar código-fonte]

As integrais triplas são reduzidas a integrais duplas e estas a integrais simples; assim, se no plano o domínio é limitado por e , a integral fica:

Agora, temos uma integral dupla sobre .

Mudança de variável[editar | editar código-fonte]

Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Seja e uma bijeção de em . A substituição de variáveis para pode ser feita conforme seque:

onde é a função nas variáveis e é o determinante da matriz Jacobiana da transformação.

Integrais duplas em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Seja definida por . Em coordenadas polares temos e , onde e . Segue da mudança de variáveis que:

sendo [1] .

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Seja definida por . Em coordenadas cilíndricas temos , e , onde e . Segue da mudança de variáveis que:

sendo .

Integrais triplas em coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Seja definida por . Em coordenadas esféricas temos , e , onde , e . Segue da mudança de variáveis que:

sendo [1] .

Visualização[editar | editar código-fonte]

O motivo de, numa mudança de variáveis, multiplicar-se o integrando pelo determinante da matriz jacobiana pode ser visualizado, para o caso de 2 variáveis, na figura abaixo:

Nesse exemplo, um mapeamento linear de (u,v) em (x,y) resulta num aumento de área e distorção angular da figura. Se selecionarmos um subdomínio do quadrado maior em (u,v), os ângulos entre lados opostos diminuem, e a imagem mapeada tende a um paralelogramo, para uma função contínua e diferenciável.

Mapeamento linear de u,v em x,y. A imagem tende a um paralelogramo para menores domínios.

A área do paralelogramo é o produto dos lados pelo seno do ângulo entre eles.
Como na figura, o ângulo entre os lados é :

,

Como :


Dividindo por para determinar a relação entre as áreas:

é o deslocamento vertical em () correspondente a .

é o deslocamento vertical em () correspondente a .

Portanto quando tende a zero,

,

a relação entre as áreas infinitesimais é o determinante da matriz jacobiana.

Um mapeamento não linear também leva ao mesmo resultado, porque ele tende à situação linear à medida que se reduz o domínio.[3]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Thomas, George (2003). Cálculo - Volume 2 Pearson [S.l.] ISBN 9788581430874. 
  2. a b Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis Second Edition ed. Wiley [S.l.] ISBN 9780471054641. 
  3. Change of Variable for Multiples Integrals