Teorema de Stokes

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Ilustração do teorema de Stokes.

O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850.[1][2] Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.

Introdução[editar | editar código-fonte]

O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através da busca de uma antiderivada F de f:

O teorema de Stokes é uma grande generalização deste teorema no seguinte sentido.

  • Por uma escolha de F, . Na linguagem das formas diferenciais, isto é dizer que f(xdx é a derivada exterior da 0-forma, isto é função, F: em outras palavras, que dF = f dx. O teorema geral de Stokes se aplica a formas diferenciais superiores em vez de F.
  • Um intervalo [a, b] é simplesmente um exemplo de uma variedade unidimensional com bordo. Seu bordo é o conjunto que consiste dos dois pontos a e b. A integração de f sobre o intervalo pode ser generalizada para a integração de formas sobre variedades de dimensões maiores. Duas condições técnicas são necessárias: a variedade tem que ser orientável, e a forma tem que ter suporte compacto para que a integral resultante esteja bem definida.
  • Os dois pontos a e b formam o bordo do intervalo aberto. De forma mais geral, o teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M com bordo. A fronteira ∂M de M é ela mesma uma variedade e herda uma orientação natural daquela da variedade. Por exemplo, a orientação natural do intervalo fornece uma orientação dos pontos da fronteira. Intuitivamente, a herda a orientação oposta de b, uma vez que são extremos opostos do intervalo. Então, "integrar" F sobre os pontos a e b da fronteira é tomar a diferença F(b) − F(a).

Assim o teorema fundamental pode ser lido como:

Formulação geral[editar | editar código-fonte]

Seja uma variedade suave orientada de dimensão n e seja uma n-forma diferencial compactamente suportada em . Primeiramente, suponha que α tem suporte compacto no domínio de uma única carta orientada {U, φ}. Neste caso, define-se a integral de sobre como sendo

isto é, via um pullback de α para Rn.

Mais geral, integral de sobre é definida como segue: seja {ψi} uma partição da unidade associada a uma cobertura localmente finita {Ui, φi} de cartas (orientadas de modo consistente), então defina a integral

onde cada termo da soma é avaliado através do pullback para Rn como descrito acima. Esta quantidade é bem definida, ou seja, não depende da escolha das cartas, nem da partição da unidade.

O teorema de Stokes diz: Se é uma (n − 1)-forma com suporte compacto em e denota a fronteira de com sua orientação induzida, então

Uma variedade de integração conhecida como "normal" (aqui em vez de usou-se D) para o caso especial em que n=2

Aqui é a derivada exterior, que é definida usando apenas a estrutura de variedade. No lado direito, as vezes se utiliza um circulo dentro do sinal da integral para enfatizar o fato de que a (n-1)-forma é fechada.[3] O lado direito da equação é usado frequentemente para formular leis integrais; o lado esquerdo leva então a uma formulação diferencial equivalente (ver abaixo).

O teorema é usado com frequência em situações nas quais é uma subvariedade orientada mergulhada de uma variedade maior na qual a forma está definida.

Uma demonstração é particularmente simples se a variedade for uma assim conhecida "variedade normal", como na figura do lado direito, que pode ser segmentada em faixas verticais (por exemplo paralelas a direção xn) , tais que depois de uma integração parcial em relação a esta variável, contribuições não triviais vem apenas das superfícies das fronteiras superior e inferior (pintadas em amarelo e vermelho, respectivamente), onde as orientações mutuamente complementares são visíveis através das setas.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Teorema de Kelvin-Stokes[editar | editar código-fonte]

Uma ilustração do teorema de Kelvin-Stokes, com a superfície , sua fronteira e o vetor "normal" n.

Esta é um caso 1+1 dimensional dualizado, para uma 1-forma (dualizado porque ele é uma afirmação sobre campos vetoriais). É comum se referir a este caso especial apenas como teorema de Stokes em muitos cursos universitários introdutórios de cálculo vetorial. Ele também é chamado as vezes de teorema do rotacional.

O teorema de Kelvin-Stokes clássico:

que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial numa superfície Σ no espaço tridimensional euclidiano à integral de linha do campo vetorial sobre sua fronteira, é um caso especial do teorema generalizado de Stokes (com n = 2) uma vez que se identifica um campo vetorial com uma 1-forma usando a métrica do espaço euclidiano. A curva da integral de linha, ∂Σ, deve ter orientação positiva, de modo que dr aponta no sentido anti-horário quando a normal da superfície, dΣ, aponta em direção ao observador, seguindo a regra da mão direita.

Uma consequência da fórmula é que as linhas de campo de um campo vetorial com rotacional nulo não podem ter contorno fechado.

A fórmula pode ser escrita como:

  

em que P, Q e R são as componentes de F.

Estas variantes também são usadas com frequência:

  
  

Teorema de Green[editar | editar código-fonte]

O teorema de Green é reconhecido imediatamente como o terceiro integrando de ambos os lados da integral em termos de P, Q e R citada acima.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Stokes possui diversas aplicações nos campos científicos. Um de seus principais usos é - em utilização conjunta com o Teorema da Divergência de Gauss - a passagem da forma integral para a forma diferencial das equações de Maxwell. A notação diferencial é muito importante para o estudo do eletromagnetismo de modo mais avançado, sendo muito utilizada neste ramo da física. Será mostrada como a forma diferencial é obtida porém, antes, serão recordadas as formas integrais das equações de Maxwell.

Equações de Maxwell na forma integral[editar | editar código-fonte]

1ª) Lei de Gauss da Eletricidade:[editar | editar código-fonte]

, relaciona o fluxo elétrico resultante com a carga envolvida pela superfície;

2ª) Lei de Gauss do Magnetismo:[editar | editar código-fonte]

, constata a inexistência de monopólos magnéticos;

3ª) Lei de Faraday:[editar | editar código-fonte]

, relaciona o campo elétrico induzido com a taxa de variação do fluxo magnético no tempo;

4ª) Lei de Ampère-Maxwell:[editar | editar código-fonte]

, relaciona o campo magnético induzido à corrente elétrica e à variação de fluxo elétrico no tempo.

Equações de Maxwell na forma diferencial[editar | editar código-fonte]

1ª) Lei de Gauss da Eletricidade:[editar | editar código-fonte]

 ;

2ª) Lei de Gauss do Magnetismo:[editar | editar código-fonte]

 ;

3ª) Lei de Faraday:[editar | editar código-fonte]

 ;

4ª) Lei de Ampère-Maxwell:[editar | editar código-fonte]

 ;

Dedução das equações de Maxwell na forma diferencial[editar | editar código-fonte]

A 1ª equação diferencial é obtida usando o Teorema da Divergência na forma integral da Lei de Gauss, lembrando ainda que a carga deve ser expressa em termos da densidade de cargas como

.

Aplicando essa notação na primeira equação de Maxwell, obtém-se

.

Igualando-se os integrandos das integrais de volume, obtemos a 1ª equação de Maxwell na forma diferencial:

.

É interessante relacionar a existência de com a existência de fontes, o que respeita a equação da continuidade.

Usando agora o Teorema da Divergência na forma integral da 2ª equação de Maxwell, e lembrando que ela expressa a ausência de fluxo magnético através de uma superfície fechada, a forma diferencial é dada simplesmente por

o que expressa matematicamente o fato de que até hoje não foram encontrados na natureza monopólos magnéticos.

Para obter a 3ª equação na forma diferencial, usaremos o Teorema de Stokes e assumiremos que as variáveis temporal e espacial dos campos são independentes. Partimos da Lei de Faraday na forma integral, onde o fluxo magnético através de uma superfície aberta é dado por

.

Assim,

,

onde a última igualdade expressa a independência entre a variável temporal e a varável espacial. Comparando o lado esquerdo da expressão com a última igualdade da direita conclui-se que, como as integrais de superfície são iguais, seus integrandos também o são, isto é:

.

Assim, o campo elétrico será um campo de vórtice (ou seja, possuirá rotacional diferente de zero e será um campo não conservativo) desde que o campo de indução magnética varie com o tempo. Caso contrário, o campo elétrico poderá ser considerado um campo conservativo/gradiente/potencial.

O procedimento para deduzir a 4ª equação de Maxwell é análogo ao já aqui demonstrado. Parte-se da Lei de Ampère-Maxwell, onde o fluxo elétrico através de uma superfície aberta é

.

Como todas as integrais acima são integrais de superfície, conclui-se que seus integrandos são iguais, logo

.

Conclui-se, assim, a dedução das equações de Maxwell na forma diferencial.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, p. 146,ISBN 0-19-850593-0 Oxford (2000)
  2. Spivak (1965), p. vii, Prefácio.
  3. Entre os matemáticos este fato é conhecido, então o circulo é redundante e frequentemente deixado de lado. No entanto, deve-se ter em mente aqui que em termodinâmica, onde frequentemente aparecem expressões como (em que a derivada total, ver abaixo, não deve ser misturada com a derivada exterior), o caminho de integração W é uma linha unidimensional fechada em uma variedade de dimensão bem maior. Isto é, em aplicações termodinâmicas, onde U é uma função da temperatura , o volume e a polarização elétrica da amostra, tem-se e o circulo é realmente necessário, por exemplo se for consideradas as consequências diferenciais do postulado da integral

Referências[editar | editar código-fonte]