Integral de superfície

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Uma integral de superfície é uma integral definida de uma função sobre uma superfície.[1][2][3] Integrais desta natureza representam a grandeza chamada fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S, ou simplesmente fluxo, e é indicado pela letra grega maiúscula Φ. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo.[3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja , , uma função definida em todos os pontos de uma superfície . A integral de superfície de sobre é definida por[2]:

onde, é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial sobre por[3]:

onde, é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície contribuirão no cálculo do fluxo.[4]

Orientação[editar | editar código-fonte]

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.[4]

Sendo assim:

O sinal de serve para orientar .

Para o cálculo de :
Suponha que a superfície seja dada como: ou ou .
Reescrevendo cada uma das equações na forma é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função .
A partir do conceito que é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível , pode-se definir da seguinte forma:

ou

Elemento de área[editar | editar código-fonte]

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que é descrita pela superfície de nível . Consideremos, ainda, um plano dado de normal unitária . A projeção de sobre define uma região planar que denotaremos por .

Com isso, aproximamos um elemento de área da superfície pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área projetado sobre o plano . Denotando este por , temos[2]:

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor calculado em algum ponto de .

Assim, podemos calcular o elemento de área por[2]:

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor . é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo está relacionado ao produto interno entre e por:

Segue, daí, que o elemento de área pode ser calculado por:

Teorema[editar | editar código-fonte]

Seja uma superfície suave da forma ou ou e seja um campo vetorial contínuo em . Supondo também que a equação de seja reescrita como , ao passar para o membro esquerdo da equação e seja a projeção de no plano coordenado das variáveis independentes de .[4] Então:

Cálculo da integral de superfície[editar | editar código-fonte]

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar.[2] Seja , , uma função definida em todos os pontos de uma superfície descrita pela superfície de nível . Seja, ainda, a região planar definida pela projeção de sobre um plano dado . Então, a integral de superfície de sobre pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre :

Observações Importantes[editar | editar código-fonte]

  • Já que foi feita substituição de uma integração de superfície por uma integração dupla na região dos planos coordenados, o integrando deve coincidir com os pontos da superfície. É indispensável identificar a superfície.[4]
  • Nas aplicações, as superfícies mais simples são os planos, cúbicas, e os tetraedros. Também é possível ter superfícies de revolução, como cilíndricas, e superfícies quádricas.[4]
  • É importante a observação do integrando , para escolha do sistema de coordenadas mais apropriado, tendo em vista a simetria da superfície.[4]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Exemplo da apostila da prof Irene Strauch[4].

  • Calcular o fluxo de através da superfície dada por com e e orientada para fora da concavidade.

Resolução[editar | editar código-fonte]




A região projetada é o retângulo no plano restrito a e , então


Aplicações[editar | editar código-fonte]

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.
Na Mecânica dos Fluidos poderemos ter fluxo de um campo de velocidades . No Eletromagnetismo teremos fluxo de um campo elétrico ou de um campo de indução magnética através de uma superfície . Se o campo vetorial for um campo de densidade de corrente, indicado pela letra , então o fluxo terá dimensão de massa por unidade de tempo ou de corrente elétrica, conforme estejamos estudando o movimento de um fluido ou o movimento de cargas elétricas, respectivamente.[4]

Massa[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função . Então, a massa da placa é dada pela integral de superfície[2]:

.

Fluxo[editar | editar código-fonte]

Uma superfície (orientada de acordo com que o fluxo positivo seja atravessando-a de baixo para cima) e linhas de campo atravessando-a.

Seja uma superfície no espaço e um campo vetorial. Em cada ponto de S existem dois vetores normais unitários, apontando em direções opostas; o vetor normal unitário com orientação positiva, denotado por . Se S é uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, então por convenção ela é orientada de forma que o lado exterior seja o positivo(sempre aponta pra fora de S).[5]

Então o fluxo através de S é determinado por

onde é o elemento de área da superfície

Também é usada a notação

Por exemplo, se é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de .[2]

Referências

  1. Flemming, Diva Marília. Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169 
  2. a b c d e f g h Thomas, George B. (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874 
  3. a b c Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 2 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112593 
  4. a b c d e f g h i Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática. 
  5. 18.02 Notes and Exercises by A. Mattuck and Bjorn Poonen with the assistance of T.Shifrin and S. LeDuc c M.I.T. 2010-2014
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