Integral de superfície

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Uma integral de superfície é uma integral definida de uma função sobre uma superfície[1] [2] [3] . Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície[2] . Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo[3] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja , , uma função definida em todos os pontos de uma superfície . A integral de superfície de sobre é definida por[2] :

onde, é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial sobre por[3] :

onde, é o campo normal escolhido na orientação da superfície.

Elemento de área[editar | editar código-fonte]

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que é descrita pela superfície de nível . Consideremos, ainda, um plano dado de normal unitária . A projeção de sobre define uma região planar que denotaremos por .

Com isso, aproximamos um elemento de área da superfície pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área projetado sobre o plano . Denotando este por , temos[2] :

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor calculado em algum ponto de .

Assim, podemos calcular o elemento de área por[2] :

onde, é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor . é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo está relacionado ao produto interno entre e por:

Segue, daí, que o elemento de área pode ser calculado por:

Cálculo da integral de superfície[editar | editar código-fonte]

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar[2] . Seja , , uma função definida em todos os pontos de uma superfície descrita pela superfície de nível . Seja, ainda, a região planar definida pela projeção de sobre um plano dado . Então, a integral de superfície de sobre pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre :

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.

Massa[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função . Então, a massa da placa é dada pela integral de superfície[2] :

.

Fluxo[editar | editar código-fonte]

Seja uma superfície orientada com o campo normal exterior . Então:

fornece o fluxo exterior do campo através de . Por exemplo, se é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de [2] .

Referências

  1. Flemming, Diva Marília. Cálculo B 2 ed. Pearson [S.l.] ISBN 9788576051169. 
  2. a b c d e f g h Thomas, George B. (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. Pearson [S.l.] ISBN 9788581430874. 
  3. a b c Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 2 7 ed. Cengage [S.l.] ISBN 9788522112593. 
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