Cálculo com múltiplas variáveis

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Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriais[editar | editar código-fonte]

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor onde o ponto O é a origem de coordenadas.

com e . Quando temos um campo escalar. Para temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidade[editar | editar código-fonte]

Sejam e Escrevemos:

,
ou ainda,
cuando
para expressar o seguinte:

onde é a norma euclideana de .

Expresando-o em função das componentes de

ou, de forma equivalente,

Dizemos que uma função é contínua em .

a)
b)
c)
(produto escalar de com ).
d)

Sabemos que a) e b) no teorema se verificam se e são funções escalares. Portanto, se

temos
Aplicando a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
, como queríamos demonstrar.
, como queríamos demonstrar.

Sejam e duas funções tais que a função composta está definida em , sendo

é contínua em e é contínua em é contínua em .

Sejam e . Então,

como queríamos demostrar.

Derivadas direcionais[editar | editar código-fonte]

Derivada de um campo escalar em relação a um vetor[editar | editar código-fonte]

Derivada vectorial2.PNG

Seja . Seja um vetor cuja origem é a origem das coordenadas e cujo extremo e um vetor arbitrário de . Definimos a derivada de f em em relação a como

Derivadas parciais[editar | editar código-fonte]

Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, , teremos . Na prática, calcularemos derivando em relação a e supondo constante.

A diferencial[editar | editar código-fonte]

Definição de campo escalar diferenciável[editar | editar código-fonte]

Dizemos que f é diferenciável em

.
deve ser uma aplicação linear, que definimos como a diferencial de f em a.
A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para .

Teorema de unicidade da diferencial[editar | editar código-fonte]

é diferenciável em com diferencial

a)
b)

como queríamos demonstrar.
 Expressando em função de seus componentes na base
como queríamos demonstrar.

Regra da cadeia[editar | editar código-fonte]

Seja um campo escalar e . Definimos a função composta como , então

Diferencial de um campo vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja um campo vetorial. Seja e um vetor qualquer. Definimos a derivada

Expressando em função de seus componentes, temos

Dizemos que é diferenciável , aplicação linear que verifica:

.
Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para .

A matriz de é sua matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade[editar | editar código-fonte]

Se um campo vetorial é diferenciável em é contínuo em .

Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriais[editar | editar código-fonte]

Seja um campo vetorial definido e diferenciável em . Sua diferencial resulta ser

Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistas[editar | editar código-fonte]

ambas derivadas parciais existem e são contínuas em .

Aplicações do cálculo diferencial[editar | editar código-fonte]

Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares[editar | editar código-fonte]

Um campo escalar tem um máximo em existe uma n-esfera

Um campo escalar tem um mínimo em existe uma n-esfera

Um campo escalar tem um ponto de sela

.
Função com um ponto de sela.

Para saber se é um dos casos anteriores:

  1. Obtemos
  2. Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta .
    1. é definida positiva tem um mínimo local (mínimo relativo) em .
    2. é definida negativa tem um máximo local (máximo relativo) em .
    3. é indefinida tem um ponto de sela em .

No exposto anteriormente, supomos que é contínua

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

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