Integral de linha

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Integral de linha de um campo escalar, f. A área sob a curva C, traçada sobre a superfície definida por z = f(x,y), é o valor da integral..

Em matemática, a integral de linha é a integral onde a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial.

Definição[editar | editar código-fonte]

A integral de linha é definida como a integração de uma função ao longo de uma curva. Como motivação para a definição da integral de linha considere o problema de determinar a massa de um linha fina cuja função de densidade linear (massa por unidade de comprimento) seja conhecida. Para realizar esse procedimento consideraremos que C é uma curva lisa, isto é, contínua num dado intervalo do espaço tridimensional. Para cada ponto (x,y,z) do espaço denotamos por f(x,y,z) a função densidade linear. Modelando C entre os pontos P e Q do espaço dividimos C em n partes pequenas.

P, P_1, P_2,...,P_n=Q

Sendo \Delta M_k a massa da k-ésima seção e \Delta S_k o comprimento do arco entre um ponto qualquer P_k e seu antecessor. Escolhendo um um ponto arbitrário P_a se \Delta S_k for muito pequeno o valor de f não varia muito ao longo da seção e é possível aproximar a função densidade na seção pelo valor em P_a. Multiplicando a Função densidade aproximada pelo comprimento da seção obtêm-se o valor aproximado da massa naquele trecho da curva. Portanto se somarmos todos os trechos encontraremos a massa aproximada da curva C. No limite em que \Delta S_k tender a zero a Massa convergirá para seu valor exato. Desse modo:

M=\lim_{\Delta S_k \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_k,y_k,z_k) \Delta S_k [1] onde M é a massa total da curva C.

Sendo assim definimos a integral de linha ao longo da curva C como:

\int_C \! f(x,y,z)\,ds =\lim_{\Delta S_k \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_k,y_k,z_k) \Delta S_k ;[2]

Seja F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+E(x,y,z)k um campo vetorial contínuo, definido em D aberto conexo em \mathbb{R}3 e, seja, r uma curva simples em D dada por r(t)=(x(t),y(t),z(t)),  t\in[a, b] , então a integral de linha de F ao longo de r é dado por: \int_r \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

e portanto, a integral de linha do campo de vetores F é a integral de caminho da componente tangencial de F ao longo de C.

Conceito geral[editar | editar código-fonte]

Dada uma curva, a integral de linha de um campo vetorial sobre essa curva dará o somatório de todos os produtos escalares entre os vetores diferenciais da curva (vetores que indicam a direção da curva) e o campo vetorial sobre esta curva.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. Anton, Howard.. Cálculo um novo horizonte. Volume 2. [S.l.: s.n.], 2000.
  2. Anton, Howard. Cálculo um novo horizonte. Volume 2.. [S.l.: s.n.], 2000.