Integral de linha

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Em matemática, a integral de linha é a integral onde a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial.O valor do integral de linha é a soma dos valores do campo em todos os pontos na curva, ponderado por uma função escalar na curva (geralmente de comprimento de arco ou, para um campo de vectores, o produto escalar do campo de vetores com um vetor diferencial na curva). As integrais de linha são de uma importância fundamental em enumeras aplicações, nomeadamente em ligações com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluídos, etc.

Cálculo vetorial[editar | editar código-fonte]

Em termos qualitativos, um integral de linha no cálculo de vetor pode ser pensado como uma medida do efeito total de um dado campo ao longo de uma determinada curva. Mais especificamente, o integral de linha ao longo de um campo escalar pode ser interpretado como a área sob o campo apontada para fora por uma curva particular. Isto pode ser visualizado pela superfície criada por z = f(x,y) e uma curva C no plano x,y. 

Integral de Linha de um campo escalar[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional, então, a integral de linha de f em relação a 's' ao longo de C é:

Integral de linha de um campo escalar, f. A área sob a curva C, traçada sobre a superfície definida por z = f(x,y), é o valor da integral..

onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijecticva arbitrária da curva C, de tal moodo que r(a) e r(b) tem os extremnos de C a < b.

A função f é chamado o integrando, a curva C é o domínio da integração e o símbolo ds pode ser intuitivamente interpretado como um elementar comprimento de arco. Integrais de linha de campos escalares de uma curva C não dependem da parametrização escolhida de r 

Geometricamente, quando o campo escalar F é definido ao longo de um plano, o gráfico é uma superfície z = f(x,y) no espaço, e a integral de linha é área delimitada pela curva C.

Integral de linha de um campo vetorial[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Para um campo vetorial F  : L ⊆ R n → R n , a integral de linha ao longo de uma curva lisa orientada , na direção de R , é definiao como

A trajetória de uma partícula (em vermelho) ao longo de uma curva dentro de um campo vetorial. A partir de um, a partícula traça o caminho C ao longo do campo de vetores F. O produto escalar (linha verde) do seu vetor de deslocamento (seta vermelha) e o vetor de campo (seta azul) define uma área sob a curva, o que é equivalente a integral de linha do caminho.

onde · é o produto escalar e R : [a, b] → C é uma parametrização da curva C de tal modo que r (a) e r (b) são os pontos de extremidade de C.

Em outras palavras, a integral do campo vetorial ao longo de uma curva tem o mesmo valor que a integral do componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva. Além disso, as integrais de linha de campos vetoriais independem da parametrização r em valor absoluto, mas eles dependem de sua orientação. Especificamente, uma inversão na orientação da parametrização muda o sinal da linha integral. [1]

Independência do Caminho[editar | editar código-fonte]

Seja F um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linha ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶 é independente do caminho se ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶1 = ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶2 para quais quer dois caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com isso podemos dizer que as integrais de linha de campos conservativos são independentes do caminho.[2]

Se um vetor de campo F é o gradiente de um campo escalar L, isto é,

em seguida, a derivado da composição de funções de L e R ( t ) é

que passa a ser o integrando para a integral de linha da F em r(t). Daqui resulta que, dado um caminho de C , em seguida,

Em outras palavras, a integral de F sobre C depende unicamente dos valores de G nos pontos de R (b) e R (a) e é, assim, independente do caminho entre eles.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

A integral de linha tem muitas aplicações na física. Por exemplo, o trabalho feito em uma partícula viajando em uma curva C, dentro de um campo de força representada como um campo vetorial F é a integral de linha da F em C.

Na mecânica dos Fluídos o campo vetorial usando é o de velocidades v e o conceito de trabalho é substituído por de circulação do campo de velocidades ao longo da curva C.[3] Matematicamente, esta grandeza é definida pela integral de linha fechada C

No eletromagnetismo as integrais de linha aparecem na Lei de Faraday, onde o campo vetorial é o campo elétrico E e a na Lei de Ampère, onde o campo vetorial é o campo de indução magnético B. As expressões de cada uma das leis é, respectivamente:

, onde ε é a força eletromotriz.

, onde μ é uma constante e i é a corrente elétrica.

Integração Complexa[editar | editar código-fonte]

A primeira menção a uma noção rigorosa de integrais de funções complexas sobre caminhos aparece numa carta enviada por C. Gauss a F.W. Bessel em 1811. A mesma carta refere um resultado de independência do integral em relação a caminhos de integração com as mesmas extremidades. Estes resultados nunca foram publicados, mas Gauss usou integrais complexos em 1816 numa das suas demonstrações do célebre Teorema Fundamental da Álgebra que é considerado em detalhe no capítulo seguinte.[4]

Em 1814, A.L. Cauchy apresentou à Academia das Ciências de Paris uma memória que referia integrais de funções complexas de forma análoga à de L. Euler em 1777. Esta memória só foi publicada em 1825 e nessa altura incluía uma nota, adicionada por Cauchy em 1822, onde se referia que os integrais sobre a fronteira de um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados são nulos para funções complexas continuamente diferenciáveis no fecho do retângulo. Este resultado, que nas condições referidas pode ser obtido do Teorema de Green para funções reais definidas em conjuntos de ℝ, é um caso particular do célebre Teorema de Cauchy, embora com a hipótese excessivamente forte de continuidade das derivadas da função integrada.

Dada dada uma curva no plano complexo descrita por uma parametrização

e uma função complexa

com u, v funções reais e contínuas em Γ. Suponhamos que a derivada da função Υ existe, é contínua e não nula no intervalo [a,b].

  A integral de linha de f em Γ é definida como [5] 
        
     

Quando f é analítica, a integral de linha tem propriedades interessantes e incomuns, como o Teorema de Cauchy local, Fórmula integral de Cauchy e teorema de Liouville, cujo o resultado permite uma prova formal da importância do teorema fundamental da álgebra.

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Howard, Anton; Davis, Stephen (2007). Cálculo - Volume II. (Porto Alegre: Bookman). ISBN 978-85-60031-63-4. 
  2. Prado, Poliana Ferreira do (2013). Integrais de Linha - Matemática Aplicada (PDF) (Tese). Vitória da Conquista: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA (UESB). Consultado em 26 de Junho de 2016. 
  3. Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial. (Porto Alegre – RS: UFRGS). 
  4. Magalhães, Luís T. (2004). ANÁLISE COMPLEXA EM UMA VARIÁVEL E APLICAÇÕES (PDF) (Lisboa – Portugal: IST - Departamento de Matemática). 
  5. Derrick, William R. (1984). Variable compleja con aplicaciones Grupo Editorial Iberoamérica [S.l.] pp. 62–64. ISBN 968-7270-35-7. 

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]