Campo elétrico

Um campo elétrico (AO 1945: campo eléctrico) é o campo de força provocado pela ação de cargas elétricas, (elétrons, prótons ou íons) ou por sistemas delas. Cargas elétricas colocadas num campo elétrico estão sujeitas à ação de forças elétricas, de atração e repulsão.

A equação usada para se calcular a intensidade do vetor campo elétrico (E) é dada pela relação entre a força elétrica (F) e a carga de prova (q):

\mathbf {E} ={\frac {\mathbf {F} }{|q|}}

O campo elétrico pode ser definido pelo negativo do gradiente do potencial elétrico:

{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V

Unidade no Sistema Internacional de Unidades:

[E]={\frac {N}{C}}\qquad (N/C)

Onde N é a unidade de força (Newton) e C a unidade de carga (Coulomb).

História

Os estudos a respeito da eletricidade estática, criadora dos campos elétricos, remontam ao filósofo grego Tales de Mileto no século VI a.C.. O filósofo e estudioso da natureza descreveu o fenômeno que consiste em uma barra de âmbar (seiva petrificada) que atrai pequenos objetos depois de atritada com uma pele de coelho. No cotidiano, é o mesmo que esfregar uma caneta de plástico (material isolante) contra um pano ou o próprio cabelo. Em ambas as situações, o objeto fica eletricamente carregado.

A explicação da força entre partículas através da existência de um campo vem desde a época em que foi desenvolvida a teoria da gravitação universal. A dificuldade em aceitar que uma partícula possa afetar outra partícula distante, sem existir nenhum contato entre elas, foi ultrapassada na física clássica com o conceito do campo de força. No caso da força eletrostática, o campo mediador que transmite a força eletrostática foi designado por éter; a luz seria uma onda que se propaga nesse éter lumínico. No século XIX foram realizadas várias experiências para detectar a presença do éter, sem nenhum sucesso.

No fim do século chegou-se à conclusão de que não existe tal éter. No entanto, o campo elétrico tem existência física, no sentido de que transporta energia e que pode subsistir até após desaparecerem as cargas que o produzem. Na física quântica a interação elétrica é explicada como uma troca de partículas mediadoras da força, que são as mesmas partículas da luz, os fotões. Cada carga lança alguns fotões que são absorvidos pela outra carga; no entanto, neste artigo falaremos sobre a teoria clássica do campo, onde o campo é como um fluido invisível que arrasta as cargas elétricas.

Vetor campo elétrico

O campo elétrico em um ponto é uma grandeza vetorial, portanto é representado por um vetor. Para verificarmos a sua presença neste ponto, colocamos neste uma carga de prova positiva. Se esta ficar sujeita a uma força eletrostática, dizemos que a região em que a carga se encontra está sujeita a um campo elétrico. O vetor campo elétrico tem sempre a mesma direção da força a que a carga está sujeita e, no caso da carga ser positiva, o mesmo sentido. Se negativa o oposto. O módulo é calculado da seguinte forma:

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}$ onde, caso a carga seja puntiforme, $|{\vec {F}}|={\frac {k.|Q|.|q|}{d^{2}}}$ (lei de Coulomb)

O módulo do vetor campo elétrico pode ser definido por:

$E={\frac {F}{q}}$

Substituindo $F\Rightarrow E={\frac {k.|Q|}{d^{2}}}$

$k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8,99\times 10^{9}$ , é a constante de Coulomb ou constante eletrostática do meio e $\varepsilon _{0}=8,85\times 10^{-12}$ é a constante de permissividade do vácuo.^[1]^[2]

Nota-se, por essa expressão, que o campo elétrico gerado por uma carga em um ponto é diretamente proporcional ao seu valor e inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Campo elétrico devido a uma carga elétrica

O campo elétrico sempre "nasce" nas cargas positivas (vetor) e "morre" nas cargas negativas. Isso explica o sentido do vetor mencionado acima. Quando duas cargas positivas são colocadas próximas uma da outra, o campo elétrico é de afastamento, gerando uma região entre as duas cargas isenta de campo elétrico. O mesmo ocorre para cargas negativas, com a diferença de o campo elétrico ser de aproximação. Já quando são colocadas próximas uma carga positiva e uma negativa, o campo "nasce" na primeira, e "morre" na segunda.

Na equação: F = k.Q.q/d² , k é a constante eletrostática do meio e não a constante dielétrica.

Campo elétrico uniforme

É definido como uma região em que todos os pontos possuem o mesmo vetor campo elétrico em módulo, direção e sentido. Sendo assim, as linhas de força são paralelas e equidistantes.

Para produzir um campo com essas características, basta utilizar duas placas planas e paralelas eletrizadas com cargas de mesmo módulo e sinais opostos. Um capacitor plano de placas paralelas pode ser citado como exemplo de criador de um campo elétrico uniforme.

Linhas de força

As cargas de prova positivas encontram-se em movimento dentro de um campo elétrico. A partir da trajetória dessas cargas, traçam-se linhas que são denominadas linhas de força, que têm as seguintes propriedades:

Saem de cargas positivas e entram nas cargas negativas;
As linhas são tangenciadas pelo campo elétrico;
Duas linhas de força nunca se cruzam;
A intensidade do campo elétrico é proporcional à concentração das linhas de força.

Campo elétrico gerado por uma esfera oca condutora

Quando uma esfera está eletrizada, as cargas em excesso repelem-se mutuamente e por isso migram para a superfície externa da esfera, atingindo o equilíbrio eletrostático. Assim, o campo elétrico dentro da esfera (em equilíbrio eletrostático) é nulo.

$E_{i}=0\quad$ (No interior da Esfera)
$E={\frac {k\cdot Q}{R^{2}}}$ (superfície exterior próxima da esfera)
$E={\frac {k\cdot Q}{(R+d)^{2}}}$ (distante da esfera), onde R é o raio da esfera.

Campo elétrico produzido por cargas pontuais

A equação para o módulo do campo produzido por uma carga pontual pode ser escrita de forma vetorial.^[3] Se a carga Q estiver na origem, o resultado obtido é:

${\vec {E}}={\frac {k\,Q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}$

sendo r a distância até a origem, e ${\vec {e}}_{r}$ o vetor unitário que aponta na direção radial, afastando-se da carga.

Se a carga for negativa, a equação anterior continua válida, dando um vetor que aponta no sentido oposto de ${\vec {e}}_{r}$ (campo atrativo).

O vetor unitário ${\vec {e}}_{r}$ calcula-se dividindo o vetor posição ${\vec {r}}$ pelo seu módulo, r.

Se a carga não estiver na origem mas numa posição ${\vec {r}}_{1}$ a equação acima pode ser generalizada facilmente, dando o resultado:^[3]

${\vec {E}}={\frac {k\,Q({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}}$

O campo produzido por um sistema de cargas pontuais obtém-se somando vetorialmente os campos produzidos por cada uma das cargas.

Por exemplo o lado esquerdo na figura acima à direita mostra os campos produzidos por duas cargas pontuais de 4 nC e 9 nC em alguns pontos. O lado direito mostra o campo resultante, obtido somando vetorialmente os dois campos.

A equação anterior pode ser generalizada para um sistema de n cargas pontuais. Vamos escrever a equação explicitamente, em função das coordenadas cartesianas no plano xy (a generalização para o espaço xyz será evidente).

Se as cargas $q_{1},q_{2},...,q_{n}$ estiverem nos pontos $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n}),$ , o resultado é:

${\vec {E}}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigg [}{\frac {k\,q_{i}\,(x-x_{i})}{[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]^{3/2}}}{\Bigg ]}\,{\vec {e}}_{x}+\sum _{i=1}^{n}{\Bigg [}{\frac {k\,q_{i}\,(y-y_{i})}{[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]^{3/2}}}{\Bigg ]}\,{\vec {e}}_{y}$

Lei de Gauss no campo

O fluxo elétrico produzido por várias cargas pontuais, através de uma superfície fechada, é igual à soma dos fluxos produzidos por cada uma das cargas. O fluxo das cargas pontuais que estejam fora da superfície fechada será nulo, e o fluxo das cargas que estejam dentro da superfície será $4\,\pi \,k$ vezes o valor da carga. Por exemplo, no caso da figura abaixo, unicamente as duas cargas $q_{1}$ e $q_{2}$ produzem fluxo, porque a carga $q_{3}$ encontra-se fora da superfície.

O fluxo total é:

$\Phi _{\mathrm {e} }=4\,\pi \,k\left(q_{1}+q_{2}\right)$

O resultado do exemplo da figura acima pode ser generalizado para qualquer sistema de cargas e qualquer superfície fechada, e é designado de Lei de Gauss:

O fluxo através de qualquer superfície fechada é igual à carga total no interior da superfície, multiplicada por $4\,\pi \,k$

Em termos matemáticos, a lei de Gauss determina que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é:

${\Phi _{\mathrm {e} }=4\,\pi \,k\,q_{\text{int}}}$

Se a carga total no interior for positiva, o fluxo será positivo, indicando que há linhas de campo a saírem da superfície. Se a carga interna total for negativa, o fluxo é negativo porque há linhas de campo a entrar na superfície.

O fluxo elétrico total à volta de uma carga pontual é diretamente proporcional à carga. Em alguns casos é possível desenhar um número de linhas de campo proporcional à carga, para dar uma ideia mais aproximada do valor do fluxo em diferentes regiões; por exemplo, na figura anterior foram desenhadas 8 linhas de campo a saírem da carga de 4 nC, e 18 linhas a saírem da carga de 9 nC.

A lei de Gauss é muito útil para calcular campos elétricos de sistemas com simetria.

Campo de um plano

Consideremos um plano, com carga distribuída uniformemente. Visto de lado, o plano aparece como um segmento de reta, e as linhas de campo serão semelhantes às linhas representadas no lado direito da figura ao lado.^[3]

Nas regiões perto do centro do plano, as linhas de campo são aproximadamente paralelas entre si. Quanto maior for o plano, maior será a região onde as linhas são aproximadamente paralelas..^[3]

No caso idealizado de um plano infinito, as linhas serão completamente paralelas e equidistantes, já que a aparência do plano seria a mesma em qualquer ponto.

Para calcular o campo elétrico usando a lei de Gauss, imaginamos um cilindro com as tampas paralelas ao plano, como se mostra na figura.

Nas paredes laterais do cilindro não existe fluxo elétrico, porque o campo é paralelo à superfície. Em cada uma das tampas circulares do cilindro, o campo é perpendicular e, com módulo constante, devido a que todos os pontos na tampa estão à mesma distância do plano.

Assim, o fluxo em cada uma das tampas do cilindro é , $A\,E$ , em que A é a área da tampa, e o fluxo total através do cilindro é:^[3]

$\Phi _{\mathrm {e} }=2\,A\,E$

De acordo com a lei de Gauss, esse fluxo também deverá ser igual a:

$\Phi _{\mathrm {e} }=4\,\pi \,k\,Q$

Onde Q é a carga na parte do plano que está dentro do cilindro. Igualando as duas últimas equações obtemos o módulo do campo:

$E_{\mathrm {plano} }=2\,\pi \,k\,\sigma$

Em que $\sigma$ é a carga superficial; nomeadamente, carga por unidade de área:

$\sigma ={\frac {Q}{A}}$

Campo de um fio retilíneo

Consideremos um fio retilíneo, muito comprido, com carga distribuída uniformemente. As linhas de campo deverão ser nas direções radiais. Imaginemos uma superfície fechada que é um cilindro de raio R e altura L, com eixo sobre o fio, como mostra a figura abaixo.^[3]

Nas tampas circulares do cilindro o fluxo é nulo, porque o campo é paralelo à superfície; na parede lateral do cilindro, o campo é perpendicular e com módulo constante.^[3]

$\Phi _{\mathrm {e} }=2\,\pi \,R\,L\,E$

onde E é o módulo do campo à distância R do fio. De acordo com a lei de Gauss, esse fluxo deverá ser também igual a:

$\Phi _{\mathrm {e} }=4\,\pi \,k\,Q$

onde Q é a carga do fio que está dentro do cilindro S. Igualando as duas equações anteriores, obtemos o módulo do campo:

${E_{\text{fio}}={\frac {2\,k\,\lambda }{R}}}$

em que $\lambda$ é a carga linear (carga por unidade de comprimento): $\lambda =Q/L$

Campo de uma esfera condutora

Numa esfera condutora, com carga Q e raio a, a força repulsiva entre as cargas do mesmo sinal, faz com que as cargas se distribuam em forma uniforme, na superfície da esfera. Existe assim simetria esférica, e as linhas de campo deverão apontar na direção radial..^[3]

Para calcular o campo, imaginamos uma esfera de raio r,concêntrica com a esfera condutora. .^[3] Na superfície dessa esfera, o campo será perpendicular, e com módulo constante E; consequentemente o fluxo será:

$\Phi _{\mathrm {e} }=4\,\pi \,r^{2}\,E$

Segundo a lei de Gauss, o fluxo através da esfera de raio r será nulo, se $r<a$ , ou igual a $4\,\pi \,k\,Q$ se $r>a$ . Portanto, o campo elétrico é nulo, no interior da esfera.

Fora da esfera o campo é:

$E={\frac {k\,Q}{r^{2}}}$

Que é idêntico ao campo produzido por uma carga Q concentrada no centro da esfera.<.^[3]

Campo elétrico induzido

Um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico, e um campo elétrico variável induz um campo magnético.

O campo elétrico induzido é proporcional à derivada do fluxo magnético, e o campo magnético induzido é proporcional à derivada do fluxo elétrico. Quando um campo é uniforme, o fluxo através de uma superfície é maior se a superfície for perpendicular ao campo; isso implica que o campo induzido é perpendicular ao campo variável.^[3]

Campo elétrico induzido por um campo magnético uniforme mas variável(esquerda) e campo magnético induzido por um campo elétrico uniforme ,mas variável (direita).

A figura ao lado mostra o campo elétrico induzido por um campo magnético uniforme mas variável, e o campo magnético induzido por um campo elétrico uniforme e variável. No primeiro caso, devido ao sinal negativo , o campo elétrico induzido é no sentido oposto ao obtido com a regra da mão direita em relação à derivada do campo magnético; como o campo magnético está a diminuir, a derivada do campo aponta para baixo e a regra da mão direita indica rotação no sentido horário; portanto, as linhas do campo induzido estão orientadas no sentido anti-horário.

O sinal positivo do último termo implica que as linhas do campo magnético induzido seguem a regra da mão direita em relação ao aumento do campo elétrico. No caso do campo elétrico variável no lado direito da figura , como o campo está a diminuir, a derivada do campo elétrico aponta para baixo, e a regra da mão direita indica que o campo magnético induzido é no sentido horário.^[3]

Propriedades das linhas de campo elétrico

O campo elétrico pode ser representado por vetores que indicam o valor do campo em vários pontos do espaço, como foi feito na figura acima. O problema com essa representação é que o campo varia rapidamente com a distância, o que faz com que o vetor seja muito grande em alguns pontos e muito pequeno em outros pontos.

A representação usando linhas de campo é mais conveniente. As linhas de campo seguem a direção do campo. Em cada ponto numa dessas curvas, o campo é tangente à curva e no sentido indicado pelas setas.

As linhas de campo elétrico têm várias propriedades:

Perto de uma carga pontual positiva há linhas saindo em todas as direções e perto de uma carga negativa há linhas entrando em todas as direções;
Duas linhas de campo nunca podem se cruzar; no ponto de cruzamento, o campo teria duas direções diferentes, o que não é possível;
A matriz jacobiana correspondente ao campo elétrico é sempre simétrica. Isso implica que os valores próprios dessa matriz serão sempre reais e nunca complexos. Assim, os únicos pontos de equilíbrio que podem existir num campo elétrico são nós e pontos de sela.

Um nó pode ser atrativo ou repulsivo. Se for atrativo, será um ponto onde existe uma carga pontual negativa; se for repulsivo, será um ponto onde existe uma carga pontual positiva. Os pontos de sela são pontos onde o campo é nulo, mas não existe nenhuma carga nesse ponto. Outro exemplo, são as linhas de campo de um dipolo elétrico, formado por duas cargas iguais mas de sinais opostos.

Ver também

Referências

↑ YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A (2009). Física. 3 12 ed. São Paulo: Pearson. p. 411. ISBN 978-85-88639-34-8
↑ «Electric constant» (em inglês). National Institute of Standards and Technology. Consultado em 27 de maio de 2013
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l [ Eletricidade e Magnetismo. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 221 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-2-4. Acesso em 15 jun. 2013.

Bibliografia

Tipler, Paul A. - Física (4a Edição), Vol 2. Editora LTC
R. P Feynman, R. B. Leighton e M. Sands, Lições de Física, vol. II, cap.6-7, Bookman Companhia Editora Ltda (2008).
Irodov, I. E. - Problems in General Physics, Mir Publishers of Moscow (1988).

Ligações externas

Campos E, D, H e B. Propagação da Onda, Vetor de Poynting (vídeo em nível universitário)

[1] YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A (2009). Física. 3 12 ed. São Paulo: Pearson. p. 411. ISBN 978-85-88639-34-8

[2] «Electric constant» (em inglês). National Institute of Standards and Technology. Consultado em 27 de maio de 2013

[Villate-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l [ Eletricidade e Magnetismo. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 221 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-2-4. Acesso em 15 jun. 2013.

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[2]

[3]