Potenciais de Liénard-Wiechert

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Os potenciais de Liènard-Wiechert são a descrição matemática clássica dos potenciais escalar e vetorial de uma carga pontual em movimento. Sua derivação se origina das equações de Maxwell e portanto não é válida no domínio da mecânica quântica.

Potenciais retardados[editar | editar código-fonte]

Pode-se fazer cálculo para determinar os potenciais gerados por uma distribuição qualquer de cargas no espaço, dependentes do tempo. Nesta demonstração, chegamos a conclusão de que os potenciais gerador por uma distribuição dependente do tempo, em um ponto r, num instante de tempo t dependem desta distribuição num instante anterior que é denominado na literatura de tempo retardado. Escrevemos para o potencial elétrico:

Aqui, é a densidade de cargas avaliada no tempo retardado e é posição das cargas. O tempo retardado é definido como:

Ou seja, o tempo retardado é devido a um tempo de propagação finito com velocidade c (velocidade da luz), e é o tempo que o sinal levou para se propagar até o ponto . Note que deve ser avaliado no tempo retardo também. Analogamente, podemos escrever para o potencial vetor magnético:

Onde é densidade volumétrica de corrente. É possível particularizar para os casos em 1 e 2 dimensões. Estes são os chamados potenciais retardados de uma distribuição de cargas e correntes.

Demonstração dos potenciais de Liènard-Wiechert[editar | editar código-fonte]

Estamos em condições de deduzir os potenciais de Liènard-Wiechert para uma carga pontual q em movimento, partindo dos potenciais retardados. O problema se torna muito simples com o uso da função delta de Dirac (), que tem a seguinte propriedade:

Primeiramente, vamos utilizar estas ideias para escrever a densidade de cargas no instante .

Sendo a carga na posição no tempo , escrevemos a densidade de cargas na forma:

Inserindo estas definições na integral para o potencial elétrico, obtemos:

As funções Delta nos permite eliminar as integrais e após alguns passos não triviais, obtemos:

Onde é a velocidade da partícula e definida como . Obtemos assim o potencial elétrico para uma carga pontual. Este é um dos potenciais de Liènard-Wiechert. O potencial vetor pode ser deduzido de maneira análoga, notando que este pode ser escrito na forma:

Adotando os mesmos passos, obtemos:

A dedução dos potenciais está completa. Podemos fazer uma relação bem simples entre os dois:

Lembrando que e devem ser avaliados no tempo retardado. Escrito desta forma, fica evidente que o potencial vetor tem a mesma direção da velocidade da partícula.

Referências

[1] D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics;

[2] John R. Reitz, Foudantions of Electromagnetism;

[3] Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics;