Lei de Biot-Savart

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Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético gerado por uma corrente elétrica constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.[1]

Motivação histórica[editar | editar código-fonte]

Ilustração esquemática do experimento de Oersted.

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.[2]

A equação[editar | editar código-fonte]

Distribuições unidimensionais[editar | editar código-fonte]

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

Nessa equação, é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, é o vetor corrente elétrica e é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento , cuja posição é , ao ponto de cálculo do campo :

,

e a constante é a chamada permeabilidade magnética do vácuo.

Distribuições bidimensionais[editar | editar código-fonte]

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:

Onde é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:

Distribuições tridimensionais[editar | editar código-fonte]

Para distribuições tridimensionais de corrente:

Onde é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.[3]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Campo de uma corrente retilínea num fio condutor[editar | editar código-fonte]

Ilustração do problema

Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto a uma distância do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial , para fixo, está contido em círculos de raio em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por . Trabalhando em termos do ângulo :

Como :

E como :

Para um trecho de fio indo de a :



Se o fio for infinito, então e e a expressão fica apenas: [4]

Campo no centro de um polígono de n lados[editar | editar código-fonte]

Geometria de um quadrado

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale:

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados:

onde é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo . Então obtemos: [3]

Campo de uma espira circular no eixo[editar | editar código-fonte]

Campo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio percorrida por uma corrente estacionária de intensidade . Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância do eixo. Lembrando que:

No caso da espira circular:

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que:

Logo: [5]

Direção das linhas de campo magnético[editar | editar código-fonte]

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor , que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.[5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
  2. Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.
  3. a b Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011.
  4. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 3, 1ª ed., editora Blucher.
  5. a b H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.