Magnetostática

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Magnetostática é o estudo de campos magnéticos estáticos. Em eletrostática as cargas estão estáticas enquanto que aqui dizemos que as correntes estão estáticas. A magnetização não precisa ser estática; as equações da magnetostática podem ser usadas para prever eventos de comutação magnética que ocorrem em escalas de tempo de nanossegundos ou menos. Podemos ainda tratar como magnetostática situações em que as correntes não são estacionárias porém não se movem tão rapidamente então a magnetostática passa a ser uma boa aproximação, ou, noutras palavras, é até uma boa aproximação quando as correntes não são estáticas – desde que as correntes não alternem-se rapidamente. A magnetostática é amplamente utilizada em aplicações de micromagnetismo tais como como modelos de dispositivos de armazenamento magnético como em memória do computador.

Aplicações

Magnetostática como um caso especial das equações de Maxwell

Partindo das equações de Maxwell, e assumindo que as cargas são fixas ou se movem como uma corrente constante $\mathbf {J}$, as equações se separam em duas equações para o campo elétrico (veja eletrostática) e dois para o campo magnético. Os campos são independentes do tempo e entre si. As equações magnetostáticas, tanto na forma diferencial quanto na integral, são mostradas na tabela abaixo, e as simplificações a seguir podem ser feitas:

• ignorar qualquer carga estática
• ignorar campo elétrico
• considerar o campo magnético constante no tempo

Nome	Forma diferencial	Forma integral
presume-se	${\vec {D}}=0$	${\vec {D}}=0$
"Lei de Gauss" do magnetismo:	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	$\oint _{A}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$
presume-se	${\vec {E}}=0$	${\vec {E}}=0$
Lei de Ampère:	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}$	$\oint _{S}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=I_{\mathrm {enc} }$

Onde ∇ com o ponto denota divergência e B é a densidade do fluxo magnético, a primeira integral está sobre uma superfície $S$ com elemento de superfície orientado $d\mathbf {S}$. Onde ∇ com a cruz denota rotacional, J é a densidade de corrente e H é a intensidade do campo magnético, a segunda integral é uma integral de linha em torno de um circuito fechado $C$ com elemento de linha $\mathbf {l}$. A corrente que passa pela espira é $I_{\text{enc}}$.

A qualidade da aproximação pode ser dada através da comparação das equações acima com a forma completa das Equações de Maxwell e considerando a participação dos termos que acabaram sendo removidos. Em particular a comparação do termo ${\vec {J}}$ com o termo ${\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$, se o termo ${\vec {J}}$ é consideravelmente grande então o termo menor pode ser ignorado sem grande prejuízo na precisão.

Reintroduzindo a lei de Faraday

Uma técnica comum é resolver uma série de problemas magnetostáticos em passos de tempo incrementais e então usar essas soluções para aproximar o termo $\partial \mathbf {B} /\partial t$. Conectando este resultado à Lei de Faraday encontra um valor para $\mathbf {E}$ (o qual antes era ignorado). Este método não é uma solução verdadeira das equações de Maxwell, mas pode fornecer uma boa aproximação para campos que mudam lentamente.

Resolvendo para o campo magnético

Fontes atuais

Se todas as correntes em um sistema forem conhecidas (i.e., se uma descrição completa da densidade de corrente $\mathbf {J} (\mathbf {r} )$ está disponível), então o campo magnético pode ser determinado, em uma posição r, das correntes pela equação de Biot–Savart:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$$

Esta técnica funciona bem para problemas onde o meio é um vácuo ou ar ou algum material similar com uma permeabilidade relativa de 1. Isso inclui indutores de núcleo de ar e transformadores de núcleo de ar. Uma vantagem desta técnica é que, se uma bobina tiver geometria complexa, ela pode ser dividida em seções e a integral avaliada para cada seção. Como esta equação é usada principalmente para resolver problemas lineares, as contribuições podem ser adicionadas. Para uma geometria muito difícil, integração numérica pode ser usada.

Para problemas onde o material magnético dominante é um núcleo magnético altamente permeável com entreferros relativamente pequenos, uma abordagem de circuito magnético é útil. Quando os entreferros são grandes em comparação com o comprimento do circuito magnético, a franjas torna-se significativa e geralmente requer um cálculo de elementos finitos. O cálculo do elemento finito usa uma forma modificada das equações magnetostáticas acima para calcular o potencial magnético. O valor de $\mathbf {B}$ pode ser encontrado a partir do potencial magnético.

O campo magnético pode ser derivado do potencial vetorial. Como a divergência da densidade do fluxo magnético é sempre zero,

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$$

e a relação do potencial vetorial com a corrente é:

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.$$

Magnetização

Materiais fortemente magnéticos (i.e., ferromagnético, ferrimagnético ou paramagnético) tem uma magnetização isso se deve principalmente spin do elétron. Em tais materiais a magnetização deve ser incluída explicitamente usando a relação

$$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).$$

Exceto no caso de condutores, as correntes elétricas podem ser ignoradas. Então a lei de Ampère é simplesmente

$$\nabla \times \mathbf {H} =0.$$

Isso tem a solução geral

$$\mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},$$

onde $\Phi _{M}$ é um potencial escalar. Substituindo isso na lei de Gauss resulta

$$\nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .$$

Assim, a divergência da magnetização, $\nabla \cdot \mathbf {M} ,$ tem um papel análogo ao da carga elétrica na eletrostática e é frequentemente referido como uma densidade de carga efetiva $\rho _{M}$.

O método do potencial vetorial também pode ser empregado com uma densidade de corrente efetiva

$$\mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .$$