Teste da divergência

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Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se converge, então seu termo geral converge para zero.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considere as somas parciais

Queremos mostrar que a convergência de implica que o limite exista e seja nulo.

Como a seqüência é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo positivo, vale o limite:

O teorema do termo geral é o caso particular em que , pois:

O que completa a demonstração.

Outra demonstração[editar | editar código-fonte]

Se o limite existe, então:

E

A recíproca não é verdadeira[editar | editar código-fonte]

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

onde o termo geral tende a zero, mas a soma diverge.

Se o termo geral converge a zero o teste é inconclusivo[editar | editar código-fonte]

Quando o limite do termo geral vai a zero a série pode convergir ou divergir, o que torna o teste inconclusivo. No parágrafo anterior vimos o exemplo da série harmônica que diverge e o termo geral vai a zero. Resta mostrar um exemplo de uma série que converge e o termo geral também vai a zero. Um exemplo deste tipo é série geométrica de razão 1/2 a seguir:

.

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