Laplaciano

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Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por \Delta\,  ou \nabla^2, sendo \nabla o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos.

Definição do laplaciano escalar[editar | editar código-fonte]

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

\Delta \phi ={{\nabla }^{2}}\phi =\nabla \cdot \left( \nabla \phi  \right)=\operatorname{div}\left( \operatorname{grad}\phi  \right)


Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, assim, o Laplaciano é definido como:

\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}

Laplaciano escalar em \mathbb{R}^3[editar | editar código-fonte]

O caso particular em \mathbf{R}^3, onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

\Delta u =  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

Em coordenadas esféricas \left(r,\theta,\phi\right), assume a forma:

 \Delta u 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial u \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial u\over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 u \over \partial \phi^2}

Em coordenadas cilíndricas \left(r,\phi,z\right), assume a forma:

 \Delta u 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial u \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 u \over \partial z^2 }

Laplaciano escalar em \mathbb{R}^2[editar | editar código-fonte]

O caso particular em \mathbf{R}^2, onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

\Delta u =  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

Em coordenadas polares \left(r,\phi\right), assume a forma:

 \Delta u 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial u \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \phi^2}

Definição do laplaciano vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbf{A}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n, o Laplaciano é denotado por \Delta e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de \mathbf{u}=\left(A_1,\ldots,A_m\right):

\Delta \mathbf{A} = \left(\triangle A_1,\ldots,\triangle A_m\right) = \Delta \mathbf{A}=\left( \Delta {{A}_{x}} \right)\mathbf{i}+\left( \Delta {{A}_{y}} \right)\mathbf{j}+\left( \Delta {{A}_{z}} \right)\mathbf{k}


Laplaciano vetorial em \mathbb{R}^3 e coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em \mathbb{R}^3, vale a igualdade:

\Delta\mathbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}

O (importante) caso particular em que \nabla\cdot\mathbf{A}=0, vale:

\Delta\mathbf{A}=-\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em \mathbb{R}^3 e coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas cilíndricas usual r, \theta, z, em \mathbf{A}:

\begin{align}
  & \Delta \mathbf{A}=\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial r}-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{r}}}{{{r}^{2}}} \right){{\mathbf{a}}_{r}}+ \\ 
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial r}+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{\theta }}}{{{r}^{2}}} \right){{\mathbf{a}}_{\theta }}+ \\ 
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{z}}}{\partial r} \right){{\mathbf{a}}_{z}} \\ 
\end{align}


Laplaciano vetorial em \mathbb{R}^3 e coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas esféricas usual r, \theta, \phi, em \mathbf{A}:

\begin{align}
  & \Delta \mathbf{A}=\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{r}})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }-\frac{2{{A}_{r}}}{{{r}^{2}}}-\frac{2\cot \theta }{{{r}^{2}}}{{A}_{\theta }} \right){{\mathbf{a}}_{r}}+ \\ 
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\theta }})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{\theta }}}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta } \right){{\mathbf{a}}_{\theta }}+ \\ 
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\phi }})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \theta }+\frac{2}{{{r}^{2}}\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \phi }+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \phi }-\frac{{{A}_{\phi }}}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta } \right){{\mathbf{a}}_{\phi }} \\ 
\end{align}

Propriedades do laplaciano[editar | editar código-fonte]

O laplaciano é um operador linear:

  • \Delta\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)= \alpha \Delta f(x) +\beta \Delta g(x)

A regra do produto:

  • \Delta(f g)=(\Delta f) g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f (\Delta g)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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