Laplaciano

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Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por   ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos.

Definição do laplaciano escalar[editar | editar código-fonte]

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:


Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja , assim, o Laplaciano é definido como:

Laplaciano escalar em [editar | editar código-fonte]

O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

[1]

Em coordenadas esféricas , assume a forma:

Em coordenadas cilíndricas , assume a forma:

Laplaciano escalar em [editar | editar código-fonte]

O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

[2]

Em coordenadas polares , assume a forma:

Definição do laplaciano vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja , o Laplaciano é denotado por e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de :


Laplaciano vetorial em e coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em , vale a igualdade:

O (importante) caso particular em que , vale:

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em e coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas cilíndricas usual , , , em :


Laplaciano vetorial em e coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas esféricas usual , , , em :

Propriedades do laplaciano[editar | editar código-fonte]

O laplaciano é um operador linear:

A regra do produto:

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23.