Laplaciano

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Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por   ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações diferenciais parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.

Definição do laplaciano escalar[editar | editar código-fonte]

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:


Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja , assim, o Laplaciano é definido como:

Significado Físico [1][editar | editar código-fonte]

Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto , demonstra-se que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio de do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor do campo em . Logo, é possível interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que governa o potencial eletrostático no vazio:

Essa equação diz que o valor médio do potencial em torno de um ponto é igual ao valor do potencial no próprio ponto .

Laplaciano escalar em [editar | editar código-fonte]

O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Calcule o Laplaciano de
 

Em coordenadas polares , assume a forma:


Laplaciano escalar em [editar | editar código-fonte]

O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Calcule o Laplaciano de
 

Em coordenadas esféricas , assume a forma:

Em coordenadas cilíndricas , assume a forma:

Definição do laplaciano vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja , o Laplaciano é denotado por e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de :


Laplaciano vetorial em e coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em , vale a igualdade:

O (importante) caso particular em que , vale:

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em e coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas cilíndricas usual , , , em :


Laplaciano vetorial em e coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

O sistema de coordenadas esféricas usual , , , em :

Propriedades do laplaciano [2][editar | editar código-fonte]

Resultados Importantes [1][editar | editar código-fonte]

  • O rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo.


Um campo vetorial cujo rotacional seja nulo pode ser associado a um campo escalar . Um exemplo é o campo eletrostático que se associa com o potencial eletrostático , e, dessa forma, convenciona: .

  • A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula.

Um campo vetorial cuja divergência seja nula pode ser associado a um campo vetorial . Um exemplo é o campo magnetostático que se associa com o potencial vetor , e, dessa forma, convenciona: .

  • Um campo vetorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através de sua divergência e do seu rotacional, e de um conjunto adequado de condições de fronteira.

A condições de fronteira exigida é a especificação da componente normal no campo na fronteira da região.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Vilão, Rui (2010). Electromagnetismo. Coimbra: Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Coimbra. 
  2. Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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