Nabla

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Nabla é um símbolo, escrito como ∇. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico.

Outro nome, menos usado, para o símbolo é atled, porque é um delta invertido verticalmente.

O símbolo nabla está disponível em HTML padrão como ∇ e em LaTeX como \nabla. Em Unicode, é o caracter com o número edecimal 8711, ou o número hexadecimal 0x2207.

O nabla é usado em matemática para denominar o operador diferencial del no cálculo vetorial. Foi introduzido por William Rowan Hamilton, como uma derivada vetorial de uma função escalar.

Matemática[editar | editar código-fonte]

Em matemática o operador del é definido, num sistema de coordenadas ortogonais, como:

\overrightarrow{\nabla} = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + 
\frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+
\frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}

onde h_i é o módulo do vetor \hat{q}_i.


Coordenadas Cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas, em que h_i=1 obtém-se:

\overrightarrow{\nabla} = \hat{i}{\partial \over \partial x} + \hat{j}{\partial \over \partial y} + \hat{k}{\partial \over \partial z}.

Coordenadas Cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cilíndricas em que h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho, obtém-se:


\overrightarrow{\nabla} = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}

Coordenadas Esféricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas esféricas, em que h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta, obtém-se:


\overrightarrow{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}

Grandezas definidas por \;\;\overrightarrow{\nabla}[editar | editar código-fonte]

Serão definidas abaixo algumas grandezas matemáticas envolvendo \;\;\overrightarrow{\nabla} em \;\;\mathbb{R}^3 em coordenadas cartesianas.

Gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente de uma função escalar \;f(x,y,z)\; derivável em todos os pontos é definido por:
\operatorname{grad}\,(f)=\overrightarrow{\nabla}(f)
=\left({\partial \over \partial x} \hat{i} + {\partial \over \partial y} \hat{j} + {\partial \over \partial z}\hat{k}\right)f= {\partial f \over \partial x}\hat{i} + {\partial f \over \partial y}\hat{j} + {\partial f \over \partial z} \hat{k}

Divergência[editar | editar código-fonte]

A divergência de uma função vetorial \overrightarrow{F} derivável em todos os pontos, denotada por \overrightarrow{F}(x,y,z)=F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{k} é dada por:
\operatorname{div}\,(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{F}
=\left({\partial \over \partial x} \hat{i} + {\partial \over \partial y} \hat{j} + {\partial \over \partial z}\hat{k}\right) \cdot (F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{k})=

\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.

Rotacional[editar | editar código-fonte]

O rotacional de um campo vetorial \overrightarrow{F} como o definido acima é:
\operatorname{rot}\,(\overrightarrow{F})= \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{F}
=\left({\partial \over \partial x} \hat{i} + {\partial \over \partial y} \hat{j} + {\partial \over \partial z}\hat{k}\right) \times (F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{k})= 
=\left|
\begin{matrix}
\hat i & \hat j & \hat k  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
F_x & F_y & F_z 
\end{matrix}\right|

=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\hat {i}
+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\hat {j}
+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\hat {k}



Identidades[editar | editar código-fonte]

A seguir, algumas identidades com o operador nabla (sendo \;f\; e \;g\; funções escalares deriváveis e \;\overrightarrow{F}\; e \;\overrightarrow{G}\;\; campos vetoriais deriváveis):


  1. \overrightarrow{\nabla}(f+g)= \overrightarrow{\nabla}f+\overrightarrow{\nabla}g
  2. \overrightarrow{\nabla}(fg)= f\overrightarrow{\nabla}g+g\overrightarrow{\nabla}f
  3. \overrightarrow{\nabla}\cdot(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{F} +\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{G}
  4. \overrightarrow{\nabla}\times(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})= \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{F} +\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{G}
  5. \overrightarrow{\nabla}\cdot(f\overrightarrow{F})= (\overrightarrow{\nabla}f)\cdot\overrightarrow{F} +f(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{F})
  6. \overrightarrow{\nabla}\times(f\overrightarrow{F})= (\overrightarrow{\nabla}f)\times\overrightarrow{F}+ f(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{F})
  7. \overrightarrow{\nabla}\cdot(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= \overrightarrow{G}\cdot(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{F}) -\overrightarrow{F}\cdot(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{G})
  8. \overrightarrow{\nabla}(\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{F}+(\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{G} +\overrightarrow{G}\times(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{F})+ \overrightarrow{F}\times(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{G})
  9. \overrightarrow{\nabla}\times(\overrightarrow{F}\times\overrightarrow{G})= (\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{F}-\overrightarrow{G}(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{F}) - (\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{G}+ \overrightarrow{F}(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{G})
  10. \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\nabla} f = \nabla ^2 f , em que \nabla ^2 é o operador conhecido como laplaciano.
  11. \overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{F} ) = \overrightarrow{\nabla}(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{F}) - \nabla ^2 \overrightarrow{F}
  12. \overrightarrow{\nabla} \times (\overrightarrow{\nabla} f) = \overrightarrow{0}
  13. \overrightarrow{\nabla} \cdot (\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{F} ) = 0


Observação: Nas expressões de 10-13 é suposto que as funções \;f\; e \;\overrightarrow{F}\;\; têm derivadas parciais de 2ª ordem contínuas.


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