Del

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No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla

Derivada em função do espaço[editar | editar código-fonte]

Seja um campo escalar diferenciável em função do vector espaço Então:

Em altas ordens[editar | editar código-fonte]

A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):

Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que:

Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.

Em outras coordenadas ortogonais[editar | editar código-fonte]

Para todo sistema de coordenadas ortogonal temos que:

Operações[editar | editar código-fonte]

Seja um campo escalar e um campo vectorial ambos diferenciáveis em função do vector espaço

Gradiente[editar | editar código-fonte]

Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.

Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.

Portanto o gradiente de para três dimensões no espaço carteseano é dado por:

O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.

Identidades do gradiente[editar | editar código-fonte]



Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo, ).

Em coordenadas cartesianas,

Em coordenadas cilíndricas,

Divergência[editar | editar código-fonte]

A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial.

Portanto a divergência de para três dimensões no espaço carteseano é dada pela seguinte soma:

Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.

Identidades da divergência[editar | editar código-fonte]


Rotacional[editar | editar código-fonte]

A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.

Pelo teorema de Laplace o rotor de no espaço carteseano é:

Identidades do rotacional[editar | editar código-fonte]


Operações combinadas[editar | editar código-fonte]

Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano.

…gradiente de …divergente de …rotor de
Gradiente do… (indefinido) Gradiente do divergente (indefinido)
Divergente do… Laplaciano escalar (indefinido) (trivial nulo)
Rotor do… (trivial nulo) (indefinido) Rotor do rotor

Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:

Laplaciano[editar | editar código-fonte]

O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.

Onde:

O laplaciano de para três dimensões no espaço carteseano é dado pela seguinte soma:

Outras combinações[editar | editar código-fonte]




  1. dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
  2. dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
  3. dado que funções e têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas

Laplaciano vectorial[editar | editar código-fonte]

Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.

Onde:

Portanto o laplaciano vectorial de para três dimensões no espaço carteseano é:

Vector del[editar | editar código-fonte]

Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del:

…onde é o módulo do vetor

Em coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas, em que obtém-se:

Em coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cilíndricas em que obtém-se:

Em coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas esféricas, em que obtém-se:

Derivada direcional com o vector del[editar | editar código-fonte]

Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de com

Em três dimensões no espaço carteseano temos que:

E:

Divergência com o vector del[editar | editar código-fonte]

A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:

Laplaciano com o vector del[editar | editar código-fonte]

A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:

Em três dimensões no espaço carteseano teriamos que:

Rotacional com o vector del[editar | editar código-fonte]

Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:

Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.

Riscos do abuso de notação[editar | editar código-fonte]

O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.

Alternativas ao símbolo nabla[editar | editar código-fonte]

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:

No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor":

Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.

Notação de Einstein[editar | editar código-fonte]

Na notação de Einstein substituimos a forma por e assumimos o vector del

Seja um campo escalar e um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço

A derivada direcional fica denotada por:

upgrade

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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