Nota: Para a tecla de computador, veja
Delete.
Nota: Para Diodo emissor de luz, veja
LED.
No cálculo vectorial, o del é um operador diferencial representado pelo símbolo nabla
Seja um campo escalar diferenciável
em função do vector espaço
Então:

A derivada em função do espaço em alta ordem é representada por uma multiplicação simbólica como no exemplo abaixo (de 2ª ordem):

Essa operação é comutativa de acordo com o teorema de Clairaut-Schwarz, então, do exemplo acima pode-se afirmar que:

Quando os índices são iguais podemos fazer uma exponenciação simbólica.

Para todo sistema de coordenadas ortogonal
temos que:

Seja um campo escalar
e um campo vectorial
ambos diferenciáveis em função do vector espaço
Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.
Em cada ponto, o gradiente aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.

Portanto o gradiente de
para três dimensões no espaço carteseano
é dado por:

O processo de computação do gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente.



A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de um vector (no caso abaixo,
).

Em coordenadas cartesianas,

Em coordenadas cilíndricas,

A divergência (ou divergente) é um campo escalar igual ao traço (álgebra linear) da matriz jacobiana dum campo vectorial.

Portanto a divergência de
para três dimensões no espaço carteseano
é dada pela seguinte soma:

Denomina-se convergência o inverso aditivo da divergência.

A rotacional (ou rotor) é o determinante entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.

Pelo teorema de Laplace o rotor de
no espaço carteseano
é:


Das nove possíveis simples combinações entre os operadores gradiente, divergente e rotor duas a duas, quatro são impossíveis, duas são triviais nulas (sempre resultam em zero) – restam três operadores dos quais um recebe um nome especial, que é o divergente do gradiente denominado laplaciano.
|
…gradiente de
|
…divergente de
|
…rotor de
|
Gradiente do…
|
(indefinido)
|
Gradiente do divergente
|
(indefinido)
|
Divergente do…
|
Laplaciano escalar
|
(indefinido)
|
(trivial nulo)
|
Rotor do…
|
(trivial nulo)
|
(indefinido)
|
Rotor do rotor
|
Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:

O laplaciano escalar é o divergente do gradiente ou o traço (álgebra linear) da matriz hessiana dum campo escalar.

Onde:

O laplaciano de
para três dimensões no espaço carteseano
é dado pela seguinte soma:






dado que funções
e
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
dado que funções
e
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
dado que funções
e
têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas
Cada componente do laplaciano vectorial representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento.

Onde:

Portanto o laplaciano vectorial de
para três dimensões no espaço carteseano
é:

Apesar de se tratar dum grave caso de abuso de notação, é muito comum se encontrar a seguinte definição de vector del:

…onde
é o módulo do vetor
Em coordenadas cartesianas, em que
obtém-se:

Em coordenadas cilíndricas em que
obtém-se:

Em coordenadas esféricas, em que
obtém-se:

Com o vector del, a derivada direcional pode ser redefinida como a combinação linear de
com

Em três dimensões no espaço carteseano
temos que:

E:

A divergência passa a ser a combinação linear (não o produto escalar! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:

A combinação linear do vector del consigo mesmo forma o operador laplaciano:

Em três dimensões no espaço carteseano
teriamos que:

Daí admitimos outro abuso de notação para definir rotacional:

Nesse caso, de certa forma, temos sim um produto vectorial entre o vector del e o campo vectorial.
O uso do vector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vector del não tem magnitude nem direcção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:



No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos anglófonos como "curl" ou "rotor":

Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.


Na notação de Einstein substituimos a forma
por
e assumimos o vector del
Seja
um campo escalar e
um campo vectorial ambos diferenciaveis em função do espaço





A derivada direcional fica denotada por:

upgrade