Operador diferencial

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Definição[editar | editar código-fonte]

Um operador diferencial de uma função f no ponto a é uma transformação linear que associa a cada vetor V de \mathbb{R}^{n} a derivada direcional de f no ponto a na direção V.

Notação[editar | editar código-fonte]

O operador diferencial é denotado por D , de modo que, dada uma função y=f(x) , temos que

D(y)={dy \over dx}=y'.

Polinômio de Operadores[editar | editar código-fonte]

Como consequência imediata da definição anterior, podemos escrever

D(D(y))=D(y')=y''.

Ou seja:

D^2(y)=y''.

Generalizando, definimos

D^n(y)=y^{(n)} como a derivada de y de ordem n, para qualquer inteiro não negativo.

Podemos agora definir um polinômio de operadores P(D)=a_nD^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_1D+a_0, onde

a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n são números reais, como:

(a_nD^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_1D+a_0)y=a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y^{(1)}+a_0y.

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