Equação diferencial

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Soluções de uma equação diferencial (a negro) e as respectivas condições iniciais (a vermelho).

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.[1] Por exemplo:

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes como:

  • solução pode existir ou não.
  • caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação.[1] A solução de uma equação diferencial de ordem n, conterá n constantes.[1]

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Tipos[editar | editar código-fonte]

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Exemplo 2

Mostrando que as funções

são soluções da equação diferencial e dos métodos numéricos após as únicas bidimensionais da resolução.

Resolução

por simples substituição da função e as suas derivadas vê-se facilmente que cada uma das funções dada é solução[3] :

Exemplo 3

Demonstre que a relação

é solução implícita de

Resolução

Classificação[editar | editar código-fonte]

Equações de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equações:

A chamada forma inversa da equação anterior é

Qualquer solução implícita de uma das duas equações é solução da outra, e se a inversa de uma solução explícita da primeira equação existir, será solução () da equação inversa. A equação pode ser também escrita na chamada forma diferencial.[3]

Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial é possível calcular a derivada no ponto (igual a segundo a equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto e com derivada igual a em cada ponto. O problema de valores iniciais:

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto [3]

Existência e unicidade da solução[editar | editar código-fonte]

As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema de Picard[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de valor inicial

se a função e a derivada parcial de em função de são contínuas numa vizinhança do ponto existe uma solução única em certa vizinhança do ponto que verifica a condição inicial

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função e a sua derivada parcial são contínuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).[3]

As condições do teorema de Picard são condições suficientes, mas não necessárias para a existência de solução única. Quando ou a sua derivada parcial não sejam contínuas, o teorema não nos permite concluir nada: provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo

Demonstre que a relação

onde é uma constante positiva, é solução implícita da equação

o que pode se concluir a partir do teorema de Picard?

Resolução

a função e a sua deriavada parcial são contínuas em quaisquer pontos fora do eixo dos A solução implícita dada conduz às soluções únicas:

no intervalo O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto existem duas soluções, e [3]

Métodos para resolução de equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Existem diferentes métodos para resolução de equações diferenciais e aqui serão apresentados alguns deles.

Variáveis separáveis[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais com variáveis separáveis são as mais simples de se resolver, utilizamos o seguinte método:

Solução por integração[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial de primeira ordem Quando f não depende de y, isto é a equação diferencial pode ser resolvida por integração. Se g(x) é uma função contínua, então integrando ambos os lados teremos em que G(x) é a antiderivada (integral indefinida) de g(x).[4]

Definição[editar | editar código-fonte]

O caso apresentado acima é um caso especial de quando f em é um produto de uma função de x por uma função de y. A definição de uma equação diferencial de primeira ordem que é separável ou de variáveis separáveis é pois nesse caso podemos manipular a equação com o intuito de deixar as funções que dependem da mesma variável do mesmo lado da equação e a partir daí usar o método da integração de ambos os lados.[4]

Exemplo 1: Resolvendo uma equação diferencial separável[editar | editar código-fonte]

Resolva .

Solução: Dividindo por (1+x)y, podemos escrever , da qual segue

Podemos escrever como uma constante D e obtemos .

Solução alternativa: Uma vez que cada integral resulta em logaritmo, uma escolha judiciosa da constante de integração em vez de . Reescrevendo a segunda linha da solução como , podemos combinar os termos no lado direito usando as propriedades de logaritmo. De obtemos imediatamente . Mesmo que as integrais indefinidas não sejam todas logaritmos, pode ainda ser vantajoso usar . Porém, nenhuma regra geral pode ser dada.[4]

Nota: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável, pois se escrevermos , a diferença entre poderá ser substituída por uma única constante . Em várias ocasiões renomearemos constantes, múltiplos de constantes ou combinações de constantes por uma única constante.[4]

Exemplo 2: Resolvendo um problema de valor inicial[editar | editar código-fonte]

Resolva: , sendo .

Solução: Dividindo a equação por temos:

Antes de integrar, usamos a divisão termo a termo, no lado esquerdo, e a identidade trigonométrica no lado direito. Então da integração por partes segue:

A condição inicial quando implica . Assim, a solução do problema de valor inicial é:

.[4]

Equações lineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada equação linear na variável dependente se for da forma:

Quando , a equação linear é chamada homogênea; do contrário, é não homogênea.

Dividimos ambos os lados da equação acima pelo coeficiente dominante , obtemos uma forma mais conveniente, a forma padrão de uma equação linear, que segue

Procuramos uma solução dessa equação em um intervalo no qual as funções e são contínuas.

Propriedade[editar | editar código-fonte]

Uma propriedade da ED é que a soma de duas soluções: , onde é uma solução da equação homogênea correspondente

e é uma solução particular para a equação não homogênea.[4]

Procedimento:[editar | editar código-fonte]

Para resolução de uma equação linear seguimos esses passos.

  1. Ponha e equação linear dada na forma padrão.
  2. Identifique na forma padrão e então encontre o fator integrante para a ED visando resolver por integração.
  3. Multiplique a forma padrão da ED pelo fator integrante. O lado esquerdo da equação resultante é automaticamente a derivada do produto do fator integrante por : .
  4. Integre ambos os lados dessa última equação.[4]

Exemplo 1: Resolvendo uma ED linear homogênea.[editar | editar código-fonte]

Resolva

Solução: Essa equação pode ser resolvida pelo método das separáveis. Alternativamente, uma vez que a equação já está na forma padrão, vemos que , e portanto, o fator integrante é . Multiplicamos a equação por esse fator e observamos que:

é o mesmo que

Integrado ambos os lados da última equação, obtemos . Resolvendo para , obtemos a solução explícita , .[4]

Equações não lineares[editar | editar código-fonte]

Existem muitas equações diferenciais, especialmente não lineares, que não são suscetíveis à solução analítica de algum modo razoavelmente conveniente[5] . Métodos numéricos são uma forma de tratar estas equações. Uma outra abordagem possível analisa o caráter geométrico e nos leva a uma compreensão qualitativa do comportamento das soluções,ao invés de uma informação quantitativa de forma detalhada. Considerando um sistema linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um sistema da forma , onde é uma matriz 2x2 e é um vetor 2x1, onde supomos que o determinante da matriz de coeficientes não se anula. A análise deste sistema é importante para a determinação dos autovalores da matriz de coeficientes, determinando assim o comportamento de soluções com seus respectivos autovetores, ou seja, os autovalores e autovetores fornecem uma forma de analisar o chamado plano de fase, que mostra o comportamento das soluções, de forma qualitativa (geométrica), em um plano ortogonal, sem necessariamente fornecer uma solução analítica para o problema.

Existe também o caso onde o sistema se comporta como não linear, entretanto próximo aos pontos críticos comporta-se como aproximadamente linear[6] . São os chamados Sistemas Localmente Lineares. Vamos considerar, como um exemplo desta situação, um sistema autônomo bidimensional não linear da forma . Nosso objetivo principal é investigar o comportamento das trajetórias deste sistema perto de um ponto crítico. Vamos considerar, primeiro, o que significa um sistema não linear estar "próximo" de um sistema linear. Suponhamos então que , em que x=0 é um caso isolado do sistema. Isso significa que existe algum círculo em torno da origem para o qual não existem outros pontos críticos. Suponhamos, também, que o determinante da matriz de coeficientes não se anula, de modo que x=0 também é um ponto crítico isolado no sistema linear . Para que o sistema não linear e o sistema linear anteriores estejam próximos, temos que supor que a função é pequena[7] . Matematicamente, isso equivale a dizer que quando , ou seja, o módulo da função é pequeno quando comparado com o módulo de X em torno da origem. Este tipo de sistema é chamado de sistema localmente linear na vizinhança do ponto crítico X=0.

Exemplo 3: Resolvendo equações localmente lineares[editar | editar código-fonte]

Determine se o sistema é localmente linear perto de uma vizinhança em torno da origem.

Solução: Neste problema, é conveniente fazermos uso de coordenadaspolares, com e . Feito isso, temos que , quando . Analogamente, podemos mostrar que a segunda função também tende a 0, sob a mesma análise. Portanto, o sistema dado é localmente linear próximo à origem.

Lista de equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Mendelson, Elliot; Ayres Jr, Frank. Teoria e problemas de cálculo Bookman [S.l.] ISBN 9788560031092. 
  2. Santos, José Dias dos; Zanomi Carvalho da Silva (2006). Métodos Numéricos Editora Universitária UFPE [S.l.] ISBN 9788573153255. 
  3. a b c d e [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  4. a b c d e f g h Equações Diferenciais Cengage Learning [S.l.] 
  5. P. G., Drazin (1992). Nonlinear Systems (Cambridge University [s.n.]). 
  6. J.M.A., Danby (1985). Computer Aplications to DifferentialEquations Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall [S.l.] 
  7. Boyce, Willian. Equações Diferenciais Elementares LTC [S.l.] 


Ver também[editar | editar código-fonte]