Equação diferencial

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Soluções de uma equação diferencial (a negro) e as respectivas condições iniciais (a vermelho).

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.1 Por exemplo:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2)y = 0

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes como:

  • solução pode existir ou não.
  • caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação.1 A solução de uma equação diferencial de ordem n, conterá n constantes.1

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Tipos[editar | editar código-fonte]

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

 \vec{F} = m  \vec{a}

é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

 \vec{F}(\vec{r},t) = m \frac{d^{2} \vec{r} }{dt^2}

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Exemplo II[editar | editar código-fonte]

Mostrando que as funções


y_1 (x) = e^{5x} \qquad \mathrm{e} \qquad y_2(x) = e^{-3x}

são soluções da equação diferencial e dos métodos numéricos após as únicas bidimensionais da resolução.


y''  - 2y' - 15y = 0

Resolução por simples substituição da função e as suas derivadas vê-se facilmente que cada uma das funções dada é solução3 :


\begin{align}
  &&25 e^{5x} - 10 e^{5x} - 15 e^{5x} = 0 \\
  &&9 e^{-3x} + 6 e^{-3x} - 15 e^{-3x} = 0
\end{align}

Exemplo III[editar | editar código-fonte]

Demonstre que a relação 
    x + y + e^{xy} = 0

é solução implícita de 
    \bigg(1 + x e^{xy}\bigg) \dfrac{dy}{dx} + 1 + y e^{xy} = 0

Resolução:


\begin{align}
  &\dfrac{d}{dx} (x + y + e^{xy}) = 0\\
  &1 + y' + e^{xy} {d(xy) \over dx} = 0\\
  &1 + y' + (y + xy') e^{xy} = 0\\
  &(1 + x e^{xy}  ) {dy \over dx} + 1 + y e^{xy} = 0 \qquad
\end{align}

Classificação[editar | editar código-fonte]

Equações de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma F(x,y,y') = 0, mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equações:


  {dy \over dx} = f(x,y)

A chamada forma inversa da equação anterior é


  {dx \over dy} = \frac{1}{f(x,y)}

Qualquer solução implícita de uma das duas equações é solução da outra, e se a inversa de uma solução explícita y(x) da primeira equação existir, será solução (x(y)) da equação inversa. A equação pode ser também escrita na chamada forma diferencial.3


  f(x,y) d x - d y = 0

Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial y(x_0) = y_0, é possível calcular a {d \over d}ada y' no ponto x_0 (igual a f(x_0, y_0) segundo a equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto (x_0, y_0) e com derivada igual a f(x,y) em cada ponto. O problema de valores iniciais:


  {dy \over dx} = f(x,y) \qquad y(x_0) = y_0

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (x_0, y_0). 3

Existência e unicidade da solução[editar | editar código-fonte]

As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema de Picard[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de valor inicial


  {dy \over dx} = f(x,y) \qquad y(x_0) = y_0

se a função f e a derivada parcial de f em função de y são contínuas numa vizinhança do ponto (x_0, y_0), existe uma solução única y = g(x) em certa vizinhança do ponto (x_0, y_0) que verifica a condição inicial g(x_0)= y_0.

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial \partial f/\partial y são contínuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).3

As condições do teorema de Picard são condições suficientes, mas não necessárias para a existência de solução única. Quando f ou a sua derivada parcial \partial f/\partial y não sejam contínuas, o teorema não nos permite concluir nada: provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

exemplo

Demonstre que a relação


    x^2 + y^2 - c^2 = 0

onde c é uma constante positiva, é solução implícita da equação


    {dy \over dx} = -\frac{x}{y}

o que pode se concluir a partir do teorema de Picard?

Resolução:


\begin{align}
      &2x + 2y y' = 0\\
      &y' = -\frac{x}{y}
\end{align}

a função f = -x/y e a sua deriavada parcial \partial f/\partial y = x/y^2 são contínuas em quaisquer pontos fora do eixo dos x. A solução implícita dada conduz às soluções únicas:


      y_1  = \sqrt{c^2 - x^2} \qquad y_2 = -\sqrt{c^2 - x^2}

no intervalo -c < x < c. O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos y = 0, mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto y = 0 existem duas soluções, y_1 e y_2. 3

Lista de equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Mendelson, Elliot; Ayres Jr, Frank. Teoria e problemas de cálculo. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031092
  2. Santos, José Dias dos; Zanomi Carvalho da Silva. Métodos Numéricos. [S.l.]: Editora Universitária UFPE, 2006. ISBN 9788573153255
  3. a b c d e [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também[editar | editar código-fonte]