Teorema de Picard-Lindelöf

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial:[1]

onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável .

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma função contínua tal que:

para algum positivo.

Então existe um número positivo tal que o problema de valor inicial

admite uma única solução no intervalo .

As iterações de Picard[editar | editar código-fonte]

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por :

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Assuma que e sejam solução do problema, então a diferença satisfaz:

Integrando temos:

Usando a condição de Lipschitz, temos:

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que e, portanto, como queríamos. A demonstração no intervalo é perfeitamente análoga.

Existência[editar | editar código-fonte]

Como é contínua em , existe uma constante tal que:

Fixe tal que:

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere . Defina as iterações de Picard:

É fácil estabelecer por indução que:

Isto garante que

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em :

  • Base:
  • Indução:

Como , temos que as funções convergem uniformemente no intervalo para uma função contínua

Tomando o limite em:

temos:

Neste limite usamos que uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como é contínua em , podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

E o resultado segue.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja uma função contínua tal que:

para algum positivo. Onde é um espaço de Banach e é uma aberto contido nele.

Então existe um número positivo tal que o problema de valor inicial

admite uma única solução no intervalo .

A derivada deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações[editar | editar código-fonte]

  • O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
  • As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O problema:
[2]

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

  • O problema:

não satisfaz as condições do teorema, pois não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:


  1. Sotomayor, Jorge (2011). Equações Diferenciais Ordinárias [S.l.: s.n.] ISBN 9788578611187. 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19.