Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de $t_{0}\,$ para o problema de valor inicial:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\&y(t_{0})=y_{0}\end{aligned}}$

onde $f(x,t)\,$ é uma função contínua na variável $t\,$ e Lipschitz contínua na variável $x\,$.

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado

Seja $f(x,t):[y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {R}$ uma função contínua tal que:

$\left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq L|x-y|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,$ para algum $L\,$ positivo.

Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\end{array}}\,$

admite uma única solução no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}+h]\,$.

As iterações de Picard

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por $n\,$:

$y_{0}(t)=y_{0}\,$

$y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$

Unicidade

Assuma que $y(t)\,$ e $z(t)\,$ sejam solução do problema, então a diferença $w(t)=y(t)-z(t)\,$ satisfaz:

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\w(t_{0})=0\end{array}}\,$

Integrando temos:

$w(t)=\int _{t_{0}}^{t}\left[f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right]d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,$

Usando a condição de Lipschitz, temos:

$|w(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left|f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq L\int _{t_{0}}^{t}\left|w(\tau )\right|d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,$

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que $w(t)\equiv 0\,$ e, portanto, $y(t)\equiv z(t)\,$ como queríamos. A demonstração no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}]\,$ é perfeitamente análoga.

Existência

Como $f\,$ é contínua em $[y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,$, existe uma constante $M>0\,$ tal que:

$|f(x,t)|\leq M,\forall (x,t)\in [y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,$

Fixe $h>0\,$ tal que:

$Mh\leq a\,$

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere $y_{0}=0\,$. Defina as iterações de Picard:

$y_{0}(t)=y_{0}\,$

$y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$

É fácil estabelecer por indução que:

$\left|y_{n}(t)-y_{0}\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq Mt\leq Mh\leq a\,$

Isto garante que $y_{n}\in [y_{0}-a;y_{0}+a],~~\forall n=1,2,3,\ldots \,$

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em $n\,$:

$\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq {\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,$

• Base:

$\left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{k}(\tau ),\tau )-f(y_{0}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,$

$\left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{k}(\tau )-y_{0}(\tau )\right|d\tau \leq ML|t|\,$

• Indução:

$\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n+k-1}(\tau ),\tau )-f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,$

$\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{n+k-1}(\tau )-y_{n-1}(\tau )\right|d\tau \,$

$\left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}{\frac {ML^{n-1}|t|^{n-1}}{(n-1)!}}d\tau ={\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,$

Como ${\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\leq {\frac {ML^{n}h^{n}}{n!}}\to 0,~~n\to \infty \,$, temos que as funções $y_{n}(t)\,$ convergem uniformemente no intervalo $[t_{0}-h,t_{0}+h]\,$ para uma função contínua $y\,$

Tomando o limite em:

$y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,$

temos:

$y(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y(\tau ),\tau )d\tau \,$

Neste limite usamos que $f(y_{n}(\tau ),\tau )\to f(y(\tau ),\tau )\,$ uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como $f(y(\tau ),\tau )\,$ é contínua em $\tau \,$, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

${\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\,$

E o resultado segue.

Generalizações

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja $f(x,t):V\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {X}$ uma função contínua tal que:

$\left\|f(x,t)-f(y,t)\right\|\leq L\|x-y\|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,$ para algum $L\,$ positivo. Onde $\mathbb {X} \,$ é um espaço de Banach e $V\,$ é uma aberto contido nele.

Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\in \mathbb {V} \end{array}}\,$

admite uma única solução no intervalo $t\in [t_{0}-h,t_{0}+h]\,$.

A derivada ${\frac {d}{dt}}\,$ deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações

• O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
• As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos

• O problema:

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=y(t)^{2}\\y(t_{0})=1\end{array}}\,$

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

$y(t)={\frac {1}{1-t}},~~t<1~\,$

• O problema:

${\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)={\sqrt {|y(t)|}}\\y(t_{0})=0\end{array}}\,$

não satisfaz as condições do teorema, pois $f\,$ não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

$y(t)=0\,$

$y(t)={\frac {t^{2}}{4}}\,$