Método de Runge-Kutta

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Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família importante de metódos iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta.

Veja o artigo sobre métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para maior entendimento e para outros métodos. Veja ainda a lista de métodos Runge-Kutta.

Trata-se de um método por etapas que tem a seguinte expressão genérica:

onde

com constantes próprias do esquema numérico. Os esquemas Runge-Kutta podem ser explícitos ou implícitos dependendo das constantes do esquema. Se esta matriz é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero; quer dizer, para os esquemas são explícitos.

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O método de runge-kutta é muitas vezes confundido com o metodo "predictor-corrector"sendo este o resultado da junção do método dos trapézios e do método de Euler.

O método Runge–Kutta clássico de quarta ordem[editar | editar código-fonte]

Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta".

Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue:

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações:

onde é a aproximação por RK4 de e

Então, o próximo valor (yn+1) é determinado pelo valor atual (yn) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações:

  • k1 é a inclinação no início do intervalo;
  • k2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k1 para determinar o valor de y no ponto tn + h/2 através do método de Euler;
  • k3 é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k2 para determinar o valor de y;
  • k4 é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k3.

Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio:

O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h5, enquanto o erro total acumulado tem ordem h4.

Note que as fórmulas acima são válidas tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais (ou seja, quando y pode ser um vetor e um operador). Por exemplo, pode-se integrar a equação de Schrödinger usando o operador Hamiltoniano como função

Métodos Runge–Kutta explícitos[editar | editar código-fonte]

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado acima.

Ela é dada por

onde

(Nota: as equações acima têm definições diferentes em diferentes textos, apesar de equivalentes).

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes aij (para 1 ≤ j <is), bi (para i = 1, 2, ..., s) e ci (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John C. Butcher):

0

O método Runge–Kutta é consistente se

Existem ainda exigências extras se for imposto que o método tenha certa ordem p, significando que o erro de truncamento é O(hp+1). Tais condições podem ser deduzida da própria definição de erro de truncamento. Por exemplo, um método de 2 estágios tem ordem 2 se b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, e b2a21 = 1/2.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O método RK4 se enquadra nesta categoria. Seu tableau é:

0
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6

No entanto, o método Runge–Kutta mais simples é o (forward) Euler, dado pela fórmula Este é o único método Runge–Kutta explícito de um estágio que é consistente. A tableau correspondente é:

0
1

Um exemplo de um método de segunda ordem com dois estágios é o método do ponto médio (midpoint method, em inglês)

A tableau correspondente é:

0
1/2 1/2
0 1

Note que este método do 'ponto médio' não é o método RK2 ótimo. Uma alternativa é fornecida pelo método de Heun, onde os 1/2's da tableau acima são simplesmente substituídos por 1's. Caso se queira minimizar o erro de truncamento, o método abaixo deve ser utilizado (Atkinson p. 423). Outros métodos importantes são Fehlberg, Cash-Karp e Dormand-Prince. Leia ainda, o artigo sobre tamanho de passo Adaptativo.

Uso[editar | editar código-fonte]

O que segue é um exemplo de uso de um método Runge–Kutta explícito de dois estágios:

0
2/3 2/3
1/4 3/4

para resolver o problema de valor inicial

com tamanho de passo h=0.025.

A tableau acima gera as seguintes equações equivalentes que definem o método:

As soluções numéricas correspondem aos valores sublinhados. Note que foi calculado evitando refazer os cálculos em s.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências gerais[editar | editar código-fonte]