Equação de Schrödinger

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Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores[3]:Capítulo 3 afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.[4]:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Equação[editar | editar código-fonte]

Equação dependente do tempo[editar | editar código-fonte]

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante por . A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:[5]

Em que é a unidade imaginária, é a constante de Planck dividida por , e o Hamiltoniano é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo[editar | editar código-fonte]

Equação unidimensional[editar | editar código-fonte]

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:[6]

,

em que é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ; é a constante de Planck dividida por ; é a massa da partícula; é a função energia potencial e é a energia do sistema.

Equação multidimensional[editar | editar código-fonte]

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:[7]

em que é o operador laplaciano em dimensões aplicado à função .

Relação com outros princípios[editar | editar código-fonte]

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica:

Equação do Oscilador harmônico:

Relação de De Broglie:

Onde é a função de onda, é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que , que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

Rearranjando a equação de energia, temos que , substituindo na equação anterior:

, definindo , temos:

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

, em que é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:[8]

Lembrando a relação , também pode se escrever:

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

em que Hn são os polinômios de Hermite.

E os níveis de energia correspondentes são:

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

Átomo de Hidrogênio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Átomo de Hidrogênio

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Schrödinger, E. (1926). «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» (PDF). Physical Review (em inglês). 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049 
  2. Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (em inglês). Upper Saddle River, Nova Jérsei: Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 
  3. Ballentine, Leslie (1998). Quantum Mechanics: A Modern Development (em inglês). Nova Jérsei: World Scientific Publishing Co. ISBN 9810241054 
  4. Laloe, Franck (2012). Do We Really Understand Quantum Mechanics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02501-1 
  5. Fleming, Henrique. «A energia e a equação de Schrödinger». e-física 
  6. Martins, Jorge Sá. «Equação de Schrödinger». Youtube. 21 de jun de 2011 
  7. Martins, Jorge Sá. «A Equação de Schrödinger em 2 e 3 Dimensões». Youtube. 6 de set de 2011 
  8. Martins, Jorge Sá. «Oscilador Harmônico Quântico». Youtube. 19 de jul de 2011 
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