Oscilador harmônico

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Oscilador harmônico simples (ideal, sem amortecimento ou força externa)

Oscilador harmônico, em Física, é qualquer sistema que apresenta movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por ser o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica do tempo.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Pode ser definido em Física clássica, bem como em Física quântica relativística. Pode ser de um dos tipos:

  1. oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido) (amortecimento);
  2. oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido):
    1. oscilador harmônico apenas forçado; ou
    2. oscilador harmônico apenas amortecido; ou
    3. oscilador harmônico forçado e amortecido;

Conquanto osciladores harmônicos simples sejam tão-somente uma idealização físico-matemática, seu estudo justifica-se pelo fato prático imensamente importante de, em muitos casos de análises reais de osciladores harmônicos complexos, ser possível e até conveniente a redução ao tratamento como se fossem daquele tipo ideal. Isso representa enormes ganhos em vários aspectos.

Todavia, a rigor, cada tipo requer tratamento físico-matemático específico.

Em física clássica[editar | editar código-fonte]

Mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Em física clássica — primeiramente em mecânica clássica — um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:

 F = -k x \,
onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.

Se F for a única força atuando no sistema, o sistema será chamado de oscilador harmônico simples. É caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" e seu deslocamento é uma função senoidal do tempo. É característica desse sistema a amplitude constante e frequência constante.

Se houver uma força de atrito que contraria o movimento dize-se um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilações é menor que no oscilador sem amortecimento, além de a amplitude das oscilações diminuir conforme o tempo.

Caso haja uma força externa dependente do tempo dize-se que se trata de um oscilador harmônico forçado.

Finalmente, se comparecem tanto a força externa como o atrito interno, tem-se o caso do oscilador harmônico forçado e amortecido.

Exemplos de osciladores harmônicos são pêndulos, massas ligadas a molas, vibrações acústicas, além de vários outros.

Eletromagnetismo clássico[editar | editar código-fonte]

Uma analogia interessante pode-se estabelecer entre os osciladores mecânicos clássicos forçados e amortecidos com o circuito elétrico RLC submetidos a uma fonte externa de energia elétrica, pois têm a mesma solução matemática (sua equação diferencial característica é de mesma forma e ordem).

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

O oscilador harmônico simples é isolado de forças externas, além de não ter amortecimento algum. Então a única força que age é a força elástica da mola:

 F = -k x \,

Usando a 2ª Lei de Newton:

 F = ma = -k x \,

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

 m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x

Se definirmos {\omega_0}^2 = k/m, então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

 \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0

Podemos observar que:

 \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}

Substituindo:

 \frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0
 \mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot  \mathrm{d}x = 0

Integrando:

 \dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K

onde K é uma constante, dado K = (A ω0)2

 \dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2
 \dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}
 \frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t

Integrando dos dois lados (sendo φ a contante resultante da integração) teremos:

 \begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\  \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}

E assim teremos a solução geral para x :

 x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,

Sendo que a amplitude A \, e a fase inicial \phi \, serão determinadas através das condições iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

 x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,

Entretanto agora \phi \, está deslocado \pi/2 \, em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

 x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:


   \displaystyle
   f
   =
   \frac
   {\omega_0}
   {2 \pi}
   =
   \frac{1}{2 \pi}
   \sqrt{\frac{k}{m}}

Oscilador harmônico amortecido[editar | editar código-fonte]

Dependência do comportamento do sistema no valor da razão de amortecimento ζ
Um oscilador harmônico amortecido, que perde velocidade devido ao atrito
Outro oscilador harmônico amortecido

Em osciladores reais, atrito, ou amortecimento, diminui a velocidade do sistema[1] . Devido à força de atrito, a velocidade diminui em proporção à força de atrito que atua. Enquanto o movimento harmônico simples oscila com apenas a força restaurativa agindo sobre o sistema, o oscilador harmônico amortecido experimenta (é sujeito a) atrito. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito Ff pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: Ff = −cv, onde c é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso.

O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,

 F = F_{ext} - kx - c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}.

Quando nenhuma força extena está presente (isto é, quando F_{ext}=0), isto pode ser reescrito na forma

 \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^{\,2} x = 0,

onde

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} é chamada de 'freqüência angular não amortecida do oscilador' e
\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}} é chamada de 'razão do amortecimento'.
Resposta de degrau para um oscilador harmônico amortecido; curvas são desenhadas para três valores de μ = ω1 = ω01−ζ2. Tempo é em unidades de tempo de decaimento τ = 1/(ζω0).

O valor da razão de amortecimento ζ determina criticamente o comportamento do sistema. Um oscilador harmônico amortecido pode ser:

  • Superamortecido (ζ > 1): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Valor maiores da razao de amortecimento ζ retornam ao equilibrio mais devagar.
  • Criticamente amortecido (ζ = 1): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar (embora ultrapassaem possa acontecer). Isto é frequentemente desejado para o amortecimento sistemas como os de portas.
  • Subamortecido (ζ < 1): O sistema oscila (com uma freqüência levement diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente descrescendo a zero. A velocidade angular do oscilador harmônico subamortecido é dada por
\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}.

O fator Q de um oscilador harmônico amortecido é definido como

Q = 2\pi \times \frac{\text{Energia armazenada}}{\text{Energia perdida por ciclo}}.

Q é relacionado à razão de amortecimento pela equação Q = \frac{1}{2\zeta}.

Oscilador Harmônico Forçado[editar | editar código-fonte]

Oscilador Harmônico Forçado é um Oscilador Harmônico Amortecido sob ação de uma força externa F(t)[2] .

A Segunda Lei de Newton assume a seguinte forma:

F(t)-kx-c \frac{dx}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}

Que usualmente é reescrita na forma:

\frac{d^2x}{dt^2}+2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=\frac{F(t)}{m}

Esta equação têm solução exata para qualquer força, usando soluções z(t) que satisfaçam a equação não-forçada:

\frac{d^2z}{dt^2}+2\zeta\omega_0\frac{dz}{dt}+\omega_0^2=0

E que possa ser expressa como a Oscilação Amortecida Sinusoidal

z(t)=Ae^{-\zeta\omega_0t}\sin(\sqrt{1-\zeta^2} \ \omega_0t+\phi)

No caso em que ζ ≤ 1, a amplitude A e a fase φ determinam o comportamento necessário para acertar as condições iniciais.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  1. Dennis G. Zill. Equações Diferenciais. [S.l.: s.n.], 2012. ISBN 978-85-221-1059-9
  2. William E. Boyce. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 7 ed. [S.l.]: LTC EDITORA, 2002. ISBN 8521613121