Oscilador harmônico

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Oscilador harmônico simples (ideal, sem amortecimento ou força externa)

Oscilador harmônico, em Física, é qualquer sistema que apresenta movimento harmônico de oscilação. É dito oscilador pelo fato de alguma entidade física oscilar, isto é, mover-se de algum modo, num movimento de vai-vem, em torno de uma posição central. Chama-se harmônico por ser o seu movimento caracterizado e descrito por uma função harmônica do tempo.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Pode ser definido em Física clássica, bem como em Física quântica relativística. Pode ser de um dos tipos:

  1. oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido) (amortecimento);
  2. oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido):
    1. oscilador harmônico apenas forçado; ou
    2. oscilador harmônico apenas amortecido; ou
    3. oscilador harmônico forçado e amortecido;

Conquanto osciladores harmônicos simples sejam tão-somente uma idealização físico-matemática, seu estudo justifica-se pelo fato prático imensamente importante de, em muitos casos de análises reais de osciladores harmônicos complexos, ser possível e até conveniente a redução ao tratamento como se fossem daquele tipo ideal. Isso representa enormes ganhos em vários aspectos.

Todavia, a rigor, cada tipo requer tratamento físico-matemático específico.

Em física clássica[editar | editar código-fonte]

Mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Em física clássica — primeiramente em mecânica clássica — um oscilador harmônico corresponde a um sistema que quando tirado da posição de equilíbrio apresenta uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x de acordo com a Lei de Hooke:

onde k é uma constante positiva, dita constante elástica.

Se F for a única força atuando no sistema, o sistema será chamado de oscilador harmônico simples. É caracterizado por um movimento de "vai-e-vem" e seu deslocamento é uma função senoidal do tempo. É característica desse sistema a amplitude constante e frequência constante.

Se houver uma força de atrito que contraria o movimento dize-se um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilações é menor que no oscilador sem amortecimento, além de a amplitude das oscilações diminuir conforme o tempo.

Caso haja uma força externa dependente do tempo dize-se que se trata de um oscilador harmônico forçado.

Finalmente, se comparecem tanto a força externa como o atrito interno, tem-se o caso do oscilador harmônico forçado e amortecido.

Exemplos de osciladores harmônicos são pêndulos, massas ligadas a molas, vibrações acústicas, além de vários outros.

Eletromagnetismo clássico[editar | editar código-fonte]

Uma analogia interessante pode-se estabelecer entre os osciladores mecânicos clássicos forçados e amortecidos com o circuito elétrico RLC submetidos a uma fonte externa de energia elétrica, pois têm a mesma solução matemática (sua equação diferencial característica é de mesma forma e ordem).

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador harmônico simples

O oscilador harmônico simples é isolado de forças externas, além de não ter amortecimento algum. Então a única força que age é a força elástica da mola:

Usando a 2ª Lei de Newton:

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

Se definirmos , então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

Podemos observar que:

Substituindo:

Integrando:

onde K é uma constante, dado K = (A ω0)2

Integrando dos dois lados (sendo φ a contante resultante da integração) teremos:

E assim teremos a solução geral para x :

Sendo que a amplitude e a fase inicial serão determinadas através das condições iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

Entretanto agora está deslocado em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:

Oscilador harmônico amortecido[editar | editar código-fonte]

Dependência do comportamento do sistema no valor da razão de amortecimento ζ
Um oscilador harmônico amortecido, que perde velocidade devido ao atrito
Outro oscilador harmônico amortecido

Em osciladores reais, atrito, ou amortecimento, diminui a velocidade do sistema[1]. Devido à força de atrito, a velocidade diminui em proporção à força de atrito que atua. Enquanto o movimento harmônico simples oscila com apenas a força restaurativa agindo sobre o sistema, o oscilador harmônico amortecido experimenta (é sujeito a) atrito. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito Ff pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: Ff = −cv, onde c é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso.

O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,

Quando nenhuma força extena está presente (isto é, quando ), isto pode ser reescrito na forma

onde

é chamada de 'freqüência angular não amortecida do oscilador' e
é chamada de 'razão do amortecimento'.
Resposta de degrau para um oscilador harmônico amortecido; curvas são desenhadas para três valores de μ = ω1 = ω01−ζ2. Tempo é em unidades de tempo de decaimento τ = 1/(ζω0).

O valor da razão de amortecimento ζ determina criticamente o comportamento do sistema. Um oscilador harmônico amortecido pode ser:

  • Superamortecido (ζ > 1): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Valor maiores da razão de amortecimento ζ retornam ao equilíbrio mais devagar.
  • Criticamente amortecido (ζ = 1): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar. Isto é frequentemente desejado para o amortecimento sistemas como os de portas.
  • Subamortecido (ζ < 1): O sistema oscila (com uma freqüência levement diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente descrescendo a zero. A velocidade angular do oscilador harmônico subamortecido é dada por

O fator Q de um oscilador harmônico amortecido é definido como

Q é relacionado à razão de amortecimento pela equação

Oscilador Harmônico Forçado[editar | editar código-fonte]

Oscilador Harmônico Forçado é um Oscilador Harmônico Amortecido sob ação de uma força externa F(t)[2].

A Segunda Lei de Newton assume a seguinte forma:

Que usualmente é reescrita na forma:

Esta equação têm solução exata para qualquer força, usando soluções z(t) que satisfaçam a equação não-forçada:

E que possa ser expressa como a Oscilação Amortecida Sinusoidal

No caso em que ζ ≤ 1, a amplitude A e a fase φ determinam o comportamento necessário para acertar as condições iniciais.

Análise do oscilador harmônico amortecido pela Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

O oscilador harmônico é um sistema que pode ser resolvido de diversas maneiras e uma delas é por meio da Transformada de Laplace[1]. A equação que define o movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:

onde a = é a aceleração e representa o somatório de todas as forças presentes.

As forças envolvidas são a força da mola F1 = e a força de atrito F2 = . Os termos e representam a constante da mola, a constante de amortecimento e a velocidade do corpo preso a sua extremidade, respectivamente. Ao representar as forças no sistema na segunda lei de newton, obtemos:

ou seja,

Condições iniciais são definidas para o sistema:

A transformada de Laplace é aplicada para calcular :

+ + = 0

Aplicando as propriedades de Laplace, a equação resultante é:

Para obter a expressão de é necessário aplicar a transformada inversa:

}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Equações Diferenciais [S.l.: s.n.] 2012. ISBN 978-85-221-1059-9.  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda)
  2. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 7 ed. LTC EDITORA [S.l.] 2002. ISBN 8521613121.  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda); |nome2= sem |sobrenome2= em Authors list (Ajuda)