Circuito RLC

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Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.

O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.

Parâmetros fundamentais[editar | editar código-fonte]

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância[editar | editar código-fonte]

A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:

Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:

A ressonância ocorre quando a impedância complexa ZLC do ressonador LC se torna zero:

Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:

Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:

onde a frequência de ressonância ωo é dada pela expressão acima.

Fator de carga[editar | editar código-fonte]

O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:

Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o factor de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o factor de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RLC torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).

Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior factor de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor factor de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.

Parâmetros derivados[editar | editar código-fonte]

Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda[editar | editar código-fonte]

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:

Alternativamente, a largura de banda em hertz é

A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q[editar | editar código-fonte]

A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância e a largura de banda (em radianos por segundo):

Ou, em hertz:

Q é uma unidade adimensional.

Ressonância com carga[editar | editar código-fonte]

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que

então pode-se definir a ressonância com carga como

Em um circuito oscilador

.

E, como resultado

(approx).


Configurações[editar | editar código-fonte]

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:

  • LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC série com fonte de alimentação do tipo Norton
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton

Análise do circuito[editar | editar código-fonte]

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin[editar | editar código-fonte]

Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.

RLC series circuit

Notações do circuito RLC série:

v - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
i - a corrente do circuito (medida em ampères A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:

Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna

Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

Definem-se agora dois parâmetros chave:

e

sendo ambos medidos em radianos por segundo.

Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)[editar | editar código-fonte]

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:

com as condições iniciais para a corrente do indutor, IL(0), e a tensão do capacitor VC(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).

O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto

A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:

Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω0, tem-se

Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico

Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como

Dependendo dos valores de α e ω0, existem três casos possíveis:

Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico)[editar | editar código-fonte]
Respostas do circuito RLC série com superamortecido

Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".

Duas raízes reais negativas, as soluções são:


Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)[editar | editar código-fonte]
Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".

As duas raízes são idênticas (). As soluções são:

para constantes arbitrárias A e B


Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)[editar | editar código-fonte]

Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.

As soluções consistem de duas raízes conjugadas

e

onde

As soluções são:

para constantes arbitrárias A e B.

Utilizando a fórmula de Euler [ ], pode-se simplificar a solução para

para constantes arbitrárias C e D.

Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)[editar | editar código-fonte]

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:

Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:

  1. A transformada de Laplace
  2. A Integral de convolução.
Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:

onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:

Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):

Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):

Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:

Exemplo:

Suponha

onde u(t) é a função de passo Heaviside.

Então

Integral de convolução[editar | editar código-fonte]

Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.

Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.

A equação então será, para t>0:

Assumindo que λ1 e λ2 são raízes de

então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:

Sobrecarga[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:

Carga crítica[editar | editar código-fonte]

Nesta caso, as raízes são idênticas (), a solução é:

Subcarga[editar | editar código-fonte]

Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas (), a solução é:

Domínio da frequência[editar | editar código-fonte]

O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular , a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:

onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:

E rearranjando, obtém-se

Admitância complexa[editar | editar código-fonte]

A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):

Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ωo

Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.

Pólos e Zeros[editar | editar código-fonte]

Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que :

e

Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que :

Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes e do polinómio característico.

Estado sinusoidal constante[editar | editar código-fonte]

Supondo , obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:

A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω

Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:

Análise do estado sinusoidal constante

Note que existe um pico em . Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:

Circuito RLC paralelo[editar | editar código-fonte]

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.

RLC Parallel circuit

Notações do circuito RLC paralelo:

V - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
I - a corrente do no circuito (medida em ampères A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:

com substituições obtém-se:

A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo[editar | editar código-fonte]

As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados[editar | editar código-fonte]

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]