Oscilador harmônico quântico
O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.
Oscilador harmônico monodimensional[editar | editar código-fonte]
Hamiltoniano, energia e autofunções[editar | editar código-fonte]
No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa está submetida a um potencial quadrático . Em mecânica clássica se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa da partícula e da frequência angular .
O Hamiltoniano quântico da partícula é[1]:
onde é o operador posição e é o operador momento . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo
- .
Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é[2]
onde representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções () se mostram na figura da direita. As funções são os polinômios de Hermite:
Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação para evitar confusões). Os níveis de energia são
- .
Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras , , , ... de . Este resultado é característico dos sistemas mecânico-quânticos[2].
A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é , e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.
A última razão é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.
Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o Princípio da correspondência.
Aplicação: moléculas diatômicas[editar | editar código-fonte]

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por[3]:
que se relaciona com a frequência angular mediante e depende da massa reduzida da molécula diatômica.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ Griffiths, David (2011). Mecânica Quântica. São Paulo: Pearson Prentice Hall. ISBN 9788543014388
- ↑ a b Felipe, Henrique (2019). Equação de Schrödinger do Oscilador Harmônico. [S.l.: s.n.] Consultado em 19 de março de 2019
- ↑ Nave, R. «Quantum Harmonic Oscillator» (em inglês). HyperPhysics. Consultado em 19 de março de 2019