Oscilador harmônico quântico

O oscilador harmônico quântico é o análogo mecânico quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional

Hamiltoniano, energia e autofunções

Funções de onda para os primeiros seis autoestados, $v = 0 \mbox{ a } 7$. O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} k x^2$. Em mecânica clássica $\displaystyle k= m \omega^2$ se denomina constante de força ou constante elástica, e depende da massa $m$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$.

O Hamiltoniano quântico da partícula é:

$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

onde $x\,$ é o operador posição e $\hat p\,$ é o operador momento $\left(\hat p = -i \hbar {d \over dx} \right)$. O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

$\hat H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$.

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é

$\left\langle x | \psi_v \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^v\,v!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_v\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$v = 0, 1, 2, \ldots$

onde $v\,$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções ($v = 0 \mbox{ a } 5\,$) se mostram na figura da direita. As funções $H_n$ são os polinômios de Hermite:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação $\hat H$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

$E_v = \hbar \omega \left(v + {1\over 2}\right) \qquad v = 0, 1, 2, \ldots$.

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras 1/2, 3/2, 5/2, ... de $\hbar\omega$. Este resultado é característico dos sistemas mecâno-quânticos. Na seguinte seção sobre os operadores escalares faremos um detalhado análise deste fenômeno. A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar\omega/2$, e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero. A última razão é que os níveis de energia estão equiespaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e por tanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o princípio de correspondência.

Aplicação: moléculas diatômicas

Ver artigo principal: Molécula diatômica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a frequência fundamental de vibração será dada por:

$\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}}$

que se relaciona com a frequência angular mediante $\omega = 2 \pi \nu \,$ e depende da massa reduzida $\mu \,$ da molécula diatômica.

Referências

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.