Notação bra-ket

Notação bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, $\langle \phi |\psi \rangle ,$ consistindo de uma parte esquerda, $\langle \phi |,$ denominada bra, e uma parte direita, $|\psi \rangle ,$ denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.

Mecânica quântica

Em mecânica quântica e computação quântica, a notação bra–ket é usada ubíqua para denotar estados quânticos. A notação utiliza parênteses angulares, $\langle$ e $\rangle$, e uma barra vertical $|$, para construir "bras" e "kets".

Um ket tem a forma $|v\rangle$. Matematicamente, denota um vetor, ${\boldsymbol {v}}$, num espaço vetorial abstrato (complexo) $V$, e fisicamente representa um estado de algum sistema quântico.

Um bra tem a forma $\langle f|$. Matematicamente, denota uma forma linear $f:V\to \mathbb {C}$, i.e. um mapeamento linear que mapeia cada vetor em $V$ para um número no plano complexo $\mathbb {C}$. Permitir que o funcional linear $\langle f|$ atue num vetor $|v\rangle$ é escrito como $\langle f|v\rangle \in \mathbb {C}$.

Assume que em $V$ existe um produto interno $(\cdot ,\cdot )$ com primeiro argumento antilinear, o que torna $V$ um espaço com produto interno. Então, com este produto interno, cada vetor ${\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle$ pode ser identificado com uma forma linear correspondente, colocando o vetor na primeira vaga anti-linear do produto interno Hermitiano: $({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |$. A correspondência entre estas notações é então $({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle$. A forma linear $\langle \phi |$ é um covetor para $|\phi \rangle$, e o conjunto de todos os covetores forma um subespaço do espaço vetorial dual $V^{\vee }$, do espaço vetorial inicial $V$. O propósito desta forma linear $\langle \phi |$ pode agora ser entendido em termos de fazer projeções no estado ${\boldsymbol {\phi }},$ para determinar o quão linearmente dependentes são dois estados, etc.

Para o espaço vetorial $\mathbb {C} ^{n}$, kets podem ser identificados com vetores coluna, e bras com vetores linha. Combinações de bras, kets e operadores lineares são interpretadas usando a multiplicação de matrizes. Se $\mathbb {C} ^{n}$ tem o produto interno Hermitiano padrão $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w$, sob esta identificação, a identificação de kets e bras e vice-versa fornecida pelo produto interno é através da tomada do conjugado Hermitiano (denotado $\dagger$).

É comum suprimir o vetor ou a forma linear da notação bra–ket e usar apenas um rótulo dentro da tipografia para o bra ou ket. Por exemplo, o operador de spin ${\hat {\sigma }}_{z}$ em um espaço bidimensional $\Delta$ de spinores tem autovalores ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ com autoespinores ${\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta$. Na notação bra–ket, isto é tipicamente denotado como ${\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle$, e ${\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle$. Como acima, kets e bras com o mesmo rótulo são interpretados como kets e bras correspondentes entre si usando o produto interno. Em particular, quando também identificados com vetores linha e coluna, kets e bras com o mesmo rótulo são identificados com vetores coluna e linha conjugados Hermitianos.

A notação bra–ket foi estabelecida efetivamente em 1939 por Paul Dirac; é, portanto, também conhecida como notação de Dirac, apesar de a notação ter um precursor no uso de $[\phi {\mid }\psi ]$ por Hermann Grassmann para produtos internos quase 100 anos antes.

Bras e kets

Uso mais comum: mecânica quântica

As componentes reais do vetor 3D e a projeção da base; semelhanças entre cálculo notação vetorial e notação de Dirac.

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ${\mathcal {H}},$ ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como $|\psi \rangle ,$ que deve ser lido como "psi ket".

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

$|\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},$

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

$\langle x|\psi \rangle =\psi (x)=ce^{-ikx}.$

Todo ket $|\psi \rangle$ possui um bra dual, escrito como $\langle \psi |.$ Por exemplo, o bra correspondente ao $|\psi \rangle$ acima deve ser um vetor linha, isto é,

$\langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).$

Isto é um funcional linear contínuo de $H$ para os números complexos $\mathbb {C} ,$ definido por:

$$\langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)$$ para todo ket $|\rho \rangle$

onde $\operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )$ denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos $\langle \psi |\rho \rangle ,$ que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão $\langle \phi |\psi \rangle$ (matematicamente o coeficiente para a projeção de $\psi$ em $\phi$) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado $\psi$ para o colapso no estado $\phi$.

Ver também

• Espaço dual
• Estado quântico
• Espaço vetorial
• Produto interno
• Teorema da representação de Riesz

Bibliografia

• J. J. Sakurai, «Modern Quantum Mechanics (Revised Edition)», Addison Wesley; 1993 ISBN 0-201-53929-2 (em inglês)