Problema de valor inicial

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Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma

Uma solução para um P.V.I. é uma função que é solução da equação diferencial e satisfaz .

Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações , e é um vetor n-dimensional da forma . Mais geralmente, pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.

P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. .

Existência e unicidade de soluções[editar | editar código-fonte]

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.

O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t0 se f é continua em uma região contendo t0 e y0 e satisfaz a condição de Lipschitz na variável y.

A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..

Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".

Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.

Em algumas situações, a função f não é de classe C1, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.[1][2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O problema de condição inicial

Resolução:

Pelo método do fator integrante, multiplica-se esta equação por :

O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia

Integrando os dois lados da equação, obtém-se:

com constante.

Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de :

Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:

Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:

Exemplo: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:

Ou seja:

Onde é a massa do oscilador, é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e é a constante da mola.

Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:

Usando as propriedades da transformada de Laplace, a equação segue escrita como:

De onde pode-se isolar o termo :

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:

Utilizando uma tabela de transformadas, a equação se escreve:

Logo, é necessário definir as condições iniciais e

Exemplo: Circuito RLC com pulso de amplitude [editar | editar código-fonte]

A equação que descreve tal circuito é dada por:

Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V


Onde é a função de heaviside


é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:


Dados , e temos:


Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:


No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside é a função delta de Dirac , ou seja:


Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial:


Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:


Devido as condições iniciais, e a equação se reduz a:


Isolando :


Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V


Aplicando a transformada inversa:


Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. (Teorema 1.3)
  2. Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. (Teorema 2.6)