Problema de valor inicial

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Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais é uma equação diferencial acompanhada do valor da função a determinar num determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O problema de condição inicial

	\begin{cases} 
y'=y\\ 
y(0)=2
\end{cases}

tem por solução (única) y=2e^x\,\!.

Exemplo: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, F = ma se reduz a:

 -kx(t) = ma(t)

Ou seja:

 m\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -kx(t)

Onde \textstyle m é a massa do oscilador, \textstyle x é seu deslocamento e \textstyle k é a constante da mola.

A solução desse sistema necessita de duas condições iniciais, a saber \textstyle x(0) e \textstyle \frac{dx}{dt}(0), vamos expressar a solução em função dessas duas condições de modo a deixar claro a dependência dessas condições iniciais.

A técnica da transformada de Laplace é especialmente útil para resolver esse tipo de problema, portanto o resolveremos utilizando uma sequência padrão de operações envolvendo essa transformada:

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos:

 m\mathcal{L}\left\{{\frac{d^2x(t)}{dt^2}} \right\} = -k\mathcal{L}\{x(t)\}

Usando propriedades da transformada de laplace e um pouco de álgebra isolamos \textstyle \mathcal{L}\{x(t)\} :

 m\left(s^2\mathcal{L}\{x(t)\} - sx(0) - \frac{dx}{dt}(0)\right) + k\mathcal{L}\{x(t)\} = 0

 \mathcal{L}\{x(t)\}(ms^2 + k) = msx(0) + m\frac{dx}{dt}(0)

 \mathcal{L}\{x(t)\} = \frac{msx(0) + m\frac{dx}{dt}(0)}{ms^2 + k}

Onde usamos a propriedade da linearidade e da derivada da transformada de Laplace.

Aplicando a transformada inversa obtemos:

 x(t) = x(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{ms}{ms^2 + k}\right\} + \frac{dx}{dt}(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{m}{ms^2 + k}\right\}

 x(t) = x(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + \frac{k}{m}}\right\} + \frac{dx}{dt}(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + \frac{k}{m}}\right\}

Utilizando uma tabela de transformadas, obtemos


 x(t) = x(0)cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + \frac{dx}{dt}(0)sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)

Onde podemos ver claramente o papel das condições iniciais na solução.

Exemplo: Circuito RLC com pulso de amplitude \textstyle V_{0} [editar | editar código-fonte]

A equação que descreve tal circuito é dada por:

Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V

 V(t) = V_{0}(u(t - a) - u(t - b))


Onde \textstyle u(t) é a função de heaviside


\textstyle V(t) é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:

 V(t) = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + \frac{1}{C}q(t)


Dados \textstyle L = 1H , \textstyle R = 2\Omega e \textstyle C = 1F temos:

 \frac{di(t)}{dt} + 2i(t) + q(t) = V_{0}(u(t - a) - u(t - b))


Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:

 \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 2\frac{di(t)}{dt} + i(t) = V_{0}(\delta(t - a) - \delta(t - b))


No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside \textstyle u(t) é a função delta de Dirac \textstyle \delta(t) , ou seja:

 \frac{du(t)}{dt} = \delta(t)


Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

 q(t) = \int_{0}^{t}i(t)dt

\frac{dq(t)}{dt} = i(t) - i(0) = i(t)

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: \textstyle i(0) = 0


Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

 \mathcal{L}\left\{\frac{d^2i(t)}{dt^2}\right\} + 2\mathcal{L}\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\} + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(\mathcal{L}\{\delta(t - a)\} - \mathcal{L}\{\delta(t - b)\})

 s^2\mathcal{L}\{i(t)\} - si(0) - \frac{di}{dt}(0) + 2s\mathcal{L}\{i(t)\} - 2i(0) + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})


Devido as condições iniciais, \textstyle i(0) = 0 e \textstyle \frac{di}{dt}(0) = 0 a equação se reduz a:

 s^2\mathcal{L}\{i(t)\} + 2s\mathcal{L}\{i(t)\} + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})


Isolando \textstyle \mathcal{L}\{i(t)\}:

 \mathcal{L}\{i(t)\}(s^2 + 2s + 1) = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})

 \mathcal{L}\{i(t)\} = \frac{V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})}{(s^2 + 2s + 1)}


Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V

 \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}e^{-as}\frac{1}{(s + 1)^2} - V_{0}e^{-bs}\frac{1}{(s + 1)^2}


Aplicando a transformada inversa:

 i(t) = V_{0}\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\frac{1}{(s + 1)^2}\right\} - V_{0}\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-bs}\frac{1}{(s + 1)^2}\right\}


Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

 i(t) = V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)} - V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também[editar | editar código-fonte]

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