Problema de valor inicial

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Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais é uma equação diferencial acompanhada do valor da função a determinar num determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O problema de condição inicial

tem por solução (única) .

Exemplo: Oscilador Harmônico[editar | editar código-fonte]

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, F = ma se reduz a:

Ou seja:

Onde é a massa do oscilador, é seu deslocamento e é a constante da mola.

A solução desse sistema necessita de duas condições iniciais, a saber e , vamos expressar a solução em função dessas duas condições de modo a deixar claro a dependência dessas condições iniciais.

A técnica da transformada de Laplace é especialmente útil para resolver esse tipo de problema, portanto o resolveremos utilizando uma sequência padrão de operações envolvendo essa transformada:

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos:

Usando propriedades da transformada de laplace e um pouco de álgebra isolamos :

Onde usamos a propriedade da linearidade e da derivada da transformada de Laplace.

Aplicando a transformada inversa obtemos:

Utilizando uma tabela de transformadas, obtemos


Onde podemos ver claramente o papel das condições iniciais na solução.

Exemplo: Circuito RLC com pulso de amplitude [editar | editar código-fonte]

A equação que descreve tal circuito é dada por:

Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V


Onde é a função de heaviside


é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:


Dados , e temos:


Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:


No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside é a função delta de Dirac , ou seja:


Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial:


Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:


Devido as condições iniciais, e a equação se reduz a:


Isolando :


Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V


Aplicando a transformada inversa:


Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também[editar | editar código-fonte]

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