Teorema do ponto fixo de Banach

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Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço métrico completo não vazio com uma métrica .

Uma aplicação é dita uma contração uniforme, se existir uma constante tal que:

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo , ou seja:

Demonstração da unicidade[editar | editar código-fonte]

Sejam e pontos fixos de , então:

,

o que implica , ou seja, .

Demonstração da existência[editar | editar código-fonte]

Escolha um ponto qualquer e construa a seqüência:

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

Agora usando a definição de contração temos:

De forma que:

Assim a é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto

Devemos mostrar que é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

Passando ao limite, usando a continuidade de (o que segue da própria definição de contração), temos:

E o resultado segue.

Ver também[editar | editar código-fonte]