Teorema do ponto fixo de Banach

Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado

Seja $\mathbb {X} \,$$\mathbb {X} \,$ um espaço métrico completo não vazio com uma métrica $d\,$$d\,$.

Uma aplicação $f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,$$f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,$ é dita uma contração uniforme, se existir uma constante $0\leq \beta <1\,$$0\leq \beta <1\,$ tal que:

$d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y),\forall x,y\in \mathbb {X} \,$$d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y),\forall x,y\in \mathbb {X} \,$

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo $x^{*}\in \mathbb {X} \,$$x^{*}\in \mathbb {X} \,$, ou seja:

$f(x^{*})=x^{*}\,$$f(x^{*})=x^{*}\,$

Demonstração da unicidade

Sejam $x\,$$x\,$ e $y\,$$y\,$ pontos fixos de $f\,$$f\,$, então:

$d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y)$$d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y)$,

o que implica $d(x,y)=0\,$$d(x,y)=0\,$, ou seja, $x=y\,$$x=y\,$.

Demonstração da existência

Escolha um ponto qualquer $x_{0}\in \mathbb {X} \,$$x_{0}\in \mathbb {X} \,$ e construa a seqüência:

$x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\geq 1$$x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\geq 1$

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

$d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)$$d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)$

Agora usando a definição de contração temos:

$d(x_{n+j},x_{n+j-1})\leq \beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)$$d(x_{n+j},x_{n+j-1})\leq \beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)$

De forma que:

$d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}\beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)\leq d(x_{1},x_{0})\beta ^{n}\sum _{j=1}^{\infty }\beta ^{j-1}$$d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}\beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)\leq d(x_{1},x_{0})\beta ^{n}\sum _{j=1}^{\infty }\beta ^{j-1}$

$d(x_{n+k},x_{n})\leq d(x_{1},x_{0}){\frac {\beta ^{n}}{1-\beta }}\to 0,n\to \infty$$d(x_{n+k},x_{n})\leq d(x_{1},x_{0}){\frac {\beta ^{n}}{1-\beta }}\to 0,n\to \infty$

Assim a $x_{n}\,$$x_{n}\,$ é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto $x^{*}\in \mathbb {X} \,$$x^{*}\in \mathbb {X} \,$

Devemos mostrar que $x^{*}\,$$x^{*}\,$ é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

$x_{n+1}=f(x_{n})\,$$x_{n+1}=f(x_{n})\,$

Passando ao limite, usando a continuidade de $f$$f$ (o que segue da própria definição de contração), temos:

$x^{*}=f(x^{*})\,$$x^{*}=f(x^{*})\,$

E o resultado segue.

Ver também

• Espaço métrico completo