Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.
Seja
um espaço métrico completo não vazio com uma métrica
.
Uma aplicação
é dita uma contração uniforme, se existir uma constante
tal que:

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo
, ou seja:

Sejam
e
pontos fixos de
, então:



Como
, então
. Como sabemos que
, temos
, o que implica
.
Escolha um ponto qualquer
e construa a seqüência:

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

Agora usando a definição de contração temos:

De forma que:

Assim a
é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto
Devemos mostrar que
é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

Passando ao limite, usando a continuidade de
(o que segue da própria definição de contração), temos:

E o resultado segue.