Equação integral

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Uma equação integral é uma equação que contém uma função operada por uma integral. Existe uma íntima relação entre equações diferenciais e equações integrais, e muitos problemas podem ser formulados em qualquer das duas formas. Veja, por exemplo, as equações de Maxwell.

Generalidades[editar | editar código-fonte]

O tipo mais simples de equação integral é uma equação integral de Fredholm do primeiro tipo

 f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

A notação aqui utilizada segue Arfken: φ é uma função desconhecida, f é uma função conhecida, e K é outra função conhecida, dependente de duas variáveis, denominada núcleo.

Os limites de integração são constantes, o que é uma das características de uma equação de Fredholm.

Se a função incógnita aparece tanto sendo operada por uma integral como também não operada por uma integral, a mesma é denominada equação de Fredholm do segundo tipo:

 \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

O parâmetro λ é um fator desconhecido, representando o mesmo papel de um autovalor na álgebra linear.

Se pelo menos um dos limites de integração é variável, a equação é denominada equação integral de Volterra.

No caso de todas as equações integrais acima citadas, se a função conhecida f é nula, as equações são denominadas homogêneas. Se f é não nula, as equaçõe são denominadas não-homogêneas.

Sumariando, as equações integrais são classificadas de acordo com três parâmetros, gerando oito diferentes tipos de equação:

1. Limites de integração

  • ambos constantes: equação de Fredholm
  • um ou ambos variáveis: equação de Volterra

2. Localização da função incógnita

  • somente como parte do integrando: primeiro tipo
  • não envolvido com integral e também parte do integrando: segundo tipo

3. Natureza da função incógnita f

  • identicamente nula: homogênea
não identicamente nula: não homogênea

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]