Equação integral

Uma equação integral é uma equação que contém uma função operada por uma integral. Existe uma íntima relação entre equações diferenciais e equações integrais, e muitos problemas podem ser formulados em qualquer das duas formas. Veja, por exemplo, as equações de Maxwell.

Generalidades

O tipo mais simples de equação integral é uma equação integral de Fredholm do primeiro tipo

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,\mathrm {d} t$

A notação aqui utilizada segue Arfken: $\varphi$ é uma função desconhecida, $f$ é uma função conhecida, e $K$ é outra função conhecida, dependente de duas variáveis, denominada núcleo.

Os limites de integração são constantes, o que é uma das características de uma equação de Fredholm.

Se a função incógnita aparece tanto sendo operada por uma integral como também não operada por uma integral, a mesma é denominada equação de Fredholm do segundo tipo:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,\mathrm {d} t$

O parâmetro λ é um fator desconhecido, representando o mesmo papel de um autovalor na álgebra linear.

Se pelo menos um dos limites de integração é variável, a equação é denominada equação integral de Volterra.

No caso de todas as equações integrais acima citadas, se a função conhecida $f$ é nula, as equações são denominadas homogêneas. Se $f$ é não nula, as equações são denominadas não-homogêneas.

Sumariando, as equações integrais são classificadas de acordo com três parâmetros, gerando oito diferentes tipos de equação:

1. Limites de integração

• ambos constantes: equação de Fredholm
• um ou ambos variáveis: equação de Volterra

2. Localização da função incógnita

• somente como parte do integrando: primeiro tipo
• não envolvido com integral e também parte do integrando: segundo tipo

3. Natureza da função incógnita $f$

• identicamente nula: homogênea

não identicamente nula: não homogênea

Ver também

• Método dos elementos de contorno

Bibliografia

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.

Ligações externas

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral equations at exampleproblems.com